人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章13第1課時利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性-在線瀏覽
2025-01-20 20:10本頁面
【正文】 如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，這些單調(diào)區(qū)間中間一般不能用 “ ∪ ” 連接，可用 “ 逗號 ” 或 “ 和 ”字隔開． 函數(shù) y＝ x4－ 2x2＋ 5的單調(diào)減區(qū)間為 ( ) A． (－ ∞，－ 1]和 [0,1] B． [－ 1,0]和 [1，＋ ∞) C． [－ 1,1] D． (－ ∞，－ 1]和 [1，＋ ∞) [答案 ] A [ 解析 ] y ′ ＝ 4 x3－ 4 x ， 令 y ′ ＝ 0 ，則 4 x3－ 4 x ＝ 0 ， 解 x ＝ 0 或 x ＝ 177。導數(shù)及其應用 第一章 導數(shù)的應用 第 1課時 利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 第一章 課堂典例探究 2 課 時 作 業(yè) 3 課前自主預習 1 課前自主預習 研究股票時，我們最關(guān)心的是股票的發(fā)展趨勢 (走高或走低 )以及股票價格的變化范圍 (封頂或保底 )．從股票走勢曲線圖來看，股票有升有降．在數(shù)學上，函數(shù)曲線也有升有降，就是我們常說的單調(diào)性． 那么，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)有什么關(guān)系呢？ ？ 2．導數(shù)的幾何意義是什么？ 答案： A內(nèi)某個區(qū)間 M上的任意兩個自變量的值 x x2，當 x2－ x10時，都有 f(x2)－ f(x1)0，則稱函數(shù) f(x)在區(qū)間 M上是增函數(shù)；如果對于定義域 A內(nèi)某個區(qū)間 M上的任意兩個自變量的值 x x2，當 x2－ x10時，都有 f(x2)－ f(x1)0，那么就說函數(shù) f(x)在區(qū)間 M上是減函數(shù)． 2．函數(shù) y＝ f(x)在 x＝ x0處的導數(shù)就是曲線 y＝ f(x)在點 (x0，f(x0))處切線的斜率，即 k＝ f′(x0). 一、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性 我們知道，函數(shù) y ＝ f ( x ) 曲線上一點處的切線斜就是這一點處的導數(shù)值，當切線斜率為正時， f ′ ( x ) 0 ，切線的傾斜角小于 9 0 176。 ，函數(shù)曲線呈上升趨勢；當切線斜率為負時， f ′ ( x ) 0 ，切線的傾斜角大于 9 0 176。1 ， 列表如下： x ( － ∞ ，－ 1) － 1 ( － 1 , 0 ) 0 ( 0 , 1 ) 1 (1 ，＋ ∞ ) y ′ － ＋ － ＋ y 故單調(diào)減區(qū)間為 ( － ∞ ，－ 1] 和 [ 0 , 1 ] ． 三、用導數(shù)證明不等式 若證明不等式 f ( x ) g ( x ) ， x ∈ ( a ， b ) ，可以轉(zhuǎn)化為證明 f ( x ) －g ( x ) 0 . 若 [ f ( x ) － g ( x )] ′ 0 ，則說明函數(shù) F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 在區(qū)間( a ， b ) 上是增函數(shù)；若 f ( a ) － g ( a ) ≥ 0 ，即 F ( a ) ≥ o ，則由增函數(shù)的定義可知，當 x ∈ ( a ， b ) 時， f ( x ) － g ( x ) 0 ，即 f ( x ) g ( x ) ．簡言之，若證明不等式成立，可采用構(gòu)造函數(shù)的方法，利用函數(shù)的單調(diào)性來證明，而導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性之間有著密切的關(guān)系，最后轉(zhuǎn)化為用導數(shù)證明不等式． 已知： x1， 求證： xln(1＋ x)． [ 證明 ] 令 f ( x ) ＝ x － l n ( 1 ＋ x )( x 1 ) ， 則 f ′ ( x ) ＝ 1 －11 ＋ x＝x1 ＋ x. ∵ x 1 ， ∴ f ′ ( x ) 0 ， ∴ f ( x ) 在區(qū)間 (1 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增． 又 ∵ f ( 1 ) ＝ 1 － l n 2 0 ，即 f ( 1 ) 0 ， ∴ 當 x 1 時， f ( x ) 0 ，即 x l n ( 1 ＋ x ) ． 四、導數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系 函數(shù)圖象的單調(diào)性可以通過導數(shù)的正負來分析判斷，即符號為正，圖象上升，符號為負，圖象下降，看導數(shù) 圖象時，主要是看圖象在 x 軸上方還是下方，即關(guān)心導數(shù)值的正負，而不是其單調(diào)性．解決問題時，一定要分清是函數(shù)圖象還是其導函數(shù)圖象． f ′ ( x ) 是函數(shù) f (
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