高教版中職數(shù)學(xué)拓展模塊21橢圓2-在線瀏覽
2025-01-20 15:26本頁面
【正文】 20a 2 ＋y 20b 2 ＝ 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 x 20a 2 ＋y 20b 2 1 2 ．直線與橢圓的位置關(guān)系 直線 y ＝ kx ＋ m 與橢圓x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a b 0 ) 的位置關(guān)系判斷方法：由????? y ＝ kx ＋ m ，x2a2 ＋y2b2 ＝ 1.消去 y ( 或 x ) 得到一個(gè)一元二次方程 . 位置關(guān)系 解的個(gè)數(shù) Δ的取值 相交 兩解 Δ____0 相切 一解 Δ____0 相離 無解 Δ____0 ＝ 3 . 直線與橢圓相交弦長 設(shè)直線斜率為 k ，直線與橢圓兩交點(diǎn)為 A ( x1，y1) ， B ( x2， y2) ，則 | AB |＝ 1 ＋ k2______ __ __ ＝1 ＋1k2 ______ ___ __ ，一般地， | x 1 － x 2 | ＝? x1＋ x2?2－ 4 x1x2用根與系數(shù)關(guān)系求解． |x1－ x2| |y1－ y2| 4 ．中點(diǎn)弦問題常用 “ 點(diǎn)差法 ” 求解，即 P ( x0，y0) 是弦 AB 的中點(diǎn)， A ( x1， y1) 、 B ( x2， y2) ，將 A 、B 坐標(biāo)代入橢圓方程，并兩式相減結(jié)合 x1＋ x2＝2 x0， y1＋ y2＝ 2 y0，及y2－ y1x2－ x1＝ k 求解． 題型一、直線與橢圓的位置關(guān)系的判定 例 1 （ 1 ） 判斷直線 y ＝ x －12與橢圓 x2＋ 4 y2＝ 2的位置關(guān)系 ． （ 2 ） 當(dāng) m 為何值時(shí)，直線 y ＝ x ＋ m 與橢圓x24＋y2＝ 1 相交、相切、相離？ （ 1 ） 解 ： 聯(lián)立方程組得??????? y ＝ x －12，x2＋ 4 y2＝ 2 ，消去 y ，整理得 5 x2－ 4 x － 1 ＝ 0 ， Δ ＝ ( － 4)2－ 4 179。 ( － 1) ＝ 36 ＞ 0 ，即方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以方程組有兩組解，即直線和橢囿相交． （ 2 ） 解 聯(lián)立方程組得????? y ＝ x ＋ m ， ①x24＋ y2＝ 1 ， ② 將 ① 代入 ② 得x24＋ ( x ＋ m )2＝ 1 ，整理得 5 x2＋ 8 mx ＋ 4 m2－ 4 ＝ 0 ③ Δ ＝ (8 m )2－ 4 179。 6 2 ＝ 3 10 . 所以線段 AB 的長度為 3 10 . ( 2 ) 法一 ：設(shè) l 的斜率為 k ，則其方程為 y － 2 ＝ k ( x － 4) ． 聯(lián)立????? x236＋y29＝ 1 ，y － 2 ＝ k ? x － 4 ? ，消去 y 得 (1 ＋ 4 k2) x2－ ( 3 2 k2－ 16 k ) x ＋ ( 6 4 k2－64 k － 2 0 ) ＝ 0. 若設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則 x1＋ x2＝32 k2－ 16 k1 ＋ 4 k2， 由于 AB 的中點(diǎn)恰好為 P ( 4 , 2 ) ，所以x1＋ x22＝16 k2－ 8 k1 ＋ 4 k2＝ 4 ，解得 k ＝－12. 這時(shí)直線 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4. 法二： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，則有??????? x2136＋y219＝ 1 ，x2236＋y229＝ 1 ， 兩式相減得x22－ x2136＋y22－ y219＝ 0. 由于 P ( 4 , 2 ) 是 AB 的中點(diǎn)， ∴ x1＋ x2＝ 8 ， y1＋ y2＝ 4 ， 從而 ( x2－ x1) ＋ 2( y2－ y1) ＝ 0 ， kAB＝y(tǒng)2－ y1x2－ x1＝－12，于是直線 AB ，即為 l 的方程為 y － 2 ＝－12( x － 4) ，即 y ＝－12x ＋ 4 . 變式訓(xùn)練 2 、 過點(diǎn) P ( － 1, 1) 的直線與橢圓x24＋y22＝ 1 交于 A ， B 兩點(diǎn)，若線段 AB 的中點(diǎn)恰為點(diǎn) P ，求 AB 所在的直線方程及弦長 | AB |. 解 ： 設(shè) A ( x1， y1) ， B ( x2， y2) ，由于 A ， B 兩點(diǎn)在橢囿上， ∴ x21＋ 2 y21＝4 ， x22＋ 2 y22＝ 4. 兩式相減，得 ( x1－ x2)( x1＋ x2) ＋ 2( y1－ y2)( y1＋ y2) ＝ 0 ① 顯然 x1≠ x2，故由 ① 得： kAB＝y(tǒng)1－ y2x1－ x2＝－x1＋ x22 ? y1＋ y2?. ② 又點(diǎn) P ( －1,1) 是弦 AB 的中點(diǎn)， ∴ x1＋ x2＝－ 2 ，
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