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2025-01-20 11:01本頁面
【正文】 AB中點為 O，作 OO1∥ AA1，以 O為坐標原點， OB， OC， OO1，所在直線分別為 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標系，則 A 1 ( －12， 0 ， 1 ) ， C 1 ( 0 ，32， 1 ) ， A ( －12， 0 ， 0 ) ， B 1 (12， 0 ， 1 ) ， D ( 0 ，32，12) ， ∴ A 1 D→＝ (12，32，－12) ， AB 1→＝ ( 1 ， 0 ， 1 ) ， ∴ A 1 D→ b ＝ 0 ， b c ＝ 0. 而 A 1 O→＝ A 1 A→＋ AO→＝ A 1 A→＋12( AB→＋ AD→) ＝ c ＋12( a ＋ b ) ， BD→＝ AD→－ AB→＝ b － a ， OG→＝ OC→＋ CG→＝12( AB→＋ AD→) ＋12CC1→＝12( a ＋ b ) －12c ， ∴ A1O→ ( b － a ) ＝ c ( b － a ) ＝ c a ＋12( b2－ a2) ＝12( |b |2－ |a |2) ＝ 0. ∴ A1O→⊥ BD→， ∴ Α1O ⊥ BD . 同理可證， A1O→⊥ OG→， ∴ A1O ⊥ OG . 又 ∵ OG ∩ BD ＝ O ，且 A1O ? 面 GB D ， ∴ A1O ⊥ 面 GB D . 法二 如圖取 D為坐標原點， DA、DC、 DD1所在的直線分別作 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標系． 設(shè)正方體棱長為 2， 則 O(1， 1， 0)， A1(2， 0， 2)， G(0，2， 1)， B(2， 2， 0)， D(0， 0， 0)， ∴ OA 1→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， OB→＝ ( 1 ， 1 ， 0 ) ， BG→＝ ( － 2 ， 0 ， 1 ) ， 而 OA 1→ BG→＝－ 2 ＋ 0 ＋ 2 ＝ 0. ∴ OA 1→⊥ OB→， OA 1→⊥ BG→，即 OA 1→⊥ OB→， OA 1 ⊥ BG ， 而 OB∩BG＝ B，且 A1O?面 GBD， ∴ OA1⊥ 面 GBD. 法三 同方法二建系后，設(shè)面 GBD的一個法向量為 n＝ (x，y， z) 則?????BG→n ＝ 0 ，∴?????－ 2 x ＋ z ＝ 0 ，－ 2 x － 2 y ＝ 0 ， 令 x ＝ 1 得 z ＝ 2 ， y ＝－ 1 ， ∴ 平面 G B D 的一個法向量為 ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， 顯然 A1O→＝ ( － 1 ， 1 ，－ 2 ) ＝－ n ， ∴ A1O→∥ n ， ∴ A1O ⊥ 面 G B D . 規(guī)律方法 向量法證明線面平行的關(guān)鍵是熟練掌握證明線面垂直的向量方法，準確求解各點坐標或用基向量表示所需向量． 如圖所示，在正方體 ABCD－A1B1C1D1中， E、 F分別是 BB D1B1的中點． 求證： EF⊥ 平
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