3-2第2課時(shí)-wenkub
2022-11-28 11:01:10 本頁(yè)面
【正文】 |2－ |a |2) ＝ 0. ∴ A1O→⊥ BD→， ∴ Α1O ⊥ BD . 同理可證， A1O→⊥ OG→， ∴ A1O ⊥ OG . 又 ∵ OG ∩ BD ＝ O ，且 A1O ? 面 GB D ， ∴ A1O ⊥ 面 GB D . 法二 如圖取 D為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA、DC、 DD1所在的直線分別作 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2， 則 O(1， 1， 0)， A1(2， 0， 2)， G(0，2， 1)， B(2， 2， 0)， D(0， 0， 0)， ∴ OA 1→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， OB→＝ ( 1 ， 1 ， 0 ) ， BG→＝ ( － 2 ， 0 ， 1 ) ， 而 OA 1→ ( b － a ) ＝ c b ＝ 0 ， b ( －12a ＋12b ＋14c ) ＝－12＋12c os 60 176。 MN→＝ 0. 解 法一 ( 基向量法 ) 設(shè) AB→＝ a ， AC→＝ b ， AA1→＝ c ，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得 |a |＝ |b |＝ |c |＝ 1 ， ab＝ 0 a1b1＋ u＝ kv a2b2＋ a3b3＝ 0 (3)面面垂直 設(shè)平面 α的法向量 u＝ (a1， b1， c1)，平面 β的法向量 v＝ (a2， b2， c2)，則 α⊥ β?______? ________ ? ____________________ ． 試一試 ： 若平面 α與 β的法向量分別是 a＝ (4， 0，－ 2)， b＝ (1， 0， 2)，試判斷平面 α與 β的位置關(guān)系． 提示 ∵ ab＝ 4 1＋ 0 0－ 2 2＝ 0， ∴ a⊥ b， ∴ α⊥ β. u⊥ v u c ＝ b ＋14＝ 0. ∴ AB1→⊥ MN→， ∴ AB1⊥ MN . 法二 ( 坐標(biāo)法 ) 設(shè) AB 中點(diǎn)為 O ，作 OO 1 ∥ AA 1 . 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB 為 x 軸， OC 為 y 軸，OO 1 為 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． 由已知得 A ( －12， 0 ， 0 ) ， B (12， 0 ， 0 ) ， C ( 0 ，32， 0 ) ， N ( 0 ，32，14) ， B 1 (12， 0 ，1 ) ， ∵ M 為 BC 中點(diǎn)， ∴ M (14，34， 0 ) ． ∴ MN→＝ ( －14，34，14) ， AB 1→＝ ( 1 ， 0 ， 1 ) ， 規(guī)律方法 將線線垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直問(wèn)題后，注意選擇基向量法還是坐標(biāo)法，熟練掌握證明線線垂直的向量方法是關(guān)鍵． ∴ MN→ c ＝ 0 ， a ( b － a ) ＋12( a ＋ b ) OB→＝ 1 － 1 ＋ 0 ＝ 0 ， OA 1→ AB1→＝12( － a ＋ b ＋ c ) AB1→＝ ( － 1 ，－ 1 ， 1 ) n ＝ 0 ， AC→ ， ∴ CD⊥ BC. 又 AB⊥ 平面 BCD， ∴ AB⊥ CD. 又 AB∩BC＝ B， ∴ CD⊥ 平面 ABC，
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