3-2第2課時-wenkub.com
2024-11-13 11:01 本頁面
【正文】 n ＝ 0 ，AC→BF→＝ 0 ，即 ( x ， y ， z ) ， E、 F分別是 AC、 AD的中點(diǎn)， 求證：平面 BEF⊥ 平面 ABC. 題型 三 證明面面垂直 【 例 3】 ∵∠ BCD＝ 90176。 ( － 2 ， 2 ， 0 ) ＝ 2 － 2 ＋ 0 ＝ 0 ， ∴ EF→⊥ AB1→， EF→⊥ AC→， ∴ EF ⊥ AB1， EF ⊥ AC . 又 AB1∩ AC ＝ A ， ∴ EF ⊥ 平面 B1AC . 法三 同法二得 AB1→＝ ( 0 ， 2 ， 2 ) ， AC→＝ ( － 2 ， 2 ， 0 ) ， EF→＝ ( － 1 ，－ 1 ， 1 ) ． 設(shè) 平面 B1AC 的法向量 n ＝ ( x ， y ， z ) ， 則 AB1→b ) ＝12( |b |2－ |a |2＋ 0 ＋ 0 ) ＝ 0. ∴ EF→⊥ AB1→，即 EF ⊥ AB1，同理， EF ⊥ B1C . 又 AB1∩ B1C ＝ B1， ∴ EF ⊥ 平面 B1AC . 法二 設(shè)正方體的棱長為 2，以 D為原點(diǎn)，以 DA， DC， DD1所在直線分別為 x軸， y軸， z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， B1(2， 2，2)， E(2， 2， 1)， F(1， 1， 2)． ∴ EF→＝ ( 1 ， 1 ， 2 ) － ( 2 ， 2 ， 1 ) ＝ ( － 1 ，－ 1 ， 1 ) ． AB1→＝ ( 2 ， 2 ， 2 ) － ( 2 ， 0 ， 0 ) ＝ ( 0 ， 2 ， 2 ) ， AC→＝ ( 0 ， 2 ， 0 ) － ( 2 ， 0 ， 0 ) ＝ ( － 2 ， 2 ， 0 ) ． ∴ EF→n ＝ 0 ，∴?????－ 2 x ＋ z ＝ 0 ，－ 2 x － 2 y ＝ 0 ， 令 x ＝ 1 得 z ＝ 2 ， y ＝－ 1 ， ∴ 平面 G B D 的一個法向量為 ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， 顯然 A1O→＝ ( － 1 ， 1 ，－ 2 ) ＝－ n ， ∴ A1O→∥ n ， ∴ A1O ⊥ 面 G B D . 規(guī)律方法 向量法證明線面平行的關(guān)鍵是熟練掌握證明線面垂直的向量方法，準(zhǔn)確求解各點(diǎn)坐標(biāo)或用基向量表示所需向量． 如圖所示，在正方體 ABCD－A1B1C1D1中， E、 F分別是 BB D1B1的中點(diǎn)． 求證： EF⊥ 平面 B1AC. 【 變式 2】 證明 法一 設(shè) AB→＝ a ， AD→＝ c ， AA1→＝ b ， 則 EF→＝ EB1→＋ B1F→＝12( BB1→＋ B1D1→) ＝12( AA1→＋ BD→) ＝12( AA1→＋ AD→－ AB→) ＝12( － a ＋ b ＋ c ) ， ∵ AB1→＝ AB→＋ AA1→＝ a ＋ b . ∴ EF→a ＋12( b2－ a2) ＝12( |b
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