【正文】 . ∴ EF→BF→＝ 0 ，即 ( x ， y ， z ) ， E、 F分別是 AC、 AD的中點(diǎn)， 求證：平面 BEF⊥ 平面 ABC. 題型 三 證明面面垂直 【 例 3】 ∵∠ BCD＝ 90176。a ＋12( b2－ a2) ＝12( |b |2－ |a |2) ＝ 0. ∴ A1O→⊥ BD→， ∴ Α1O ⊥ BD . 同理可證， A1O→⊥ OG→， ∴ A1O ⊥ OG . 又 ∵ OG ∩ BD ＝ O ，且 A1O ? 面 GB D ， ∴ A1O ⊥ 面 GB D . 法二 如圖取 D為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA、DC、 DD1所在的直線分別作 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系． 設(shè)正方體棱長為 2， 則 O(1， 1， 0)， A1(2， 0， 2)， G(0，2， 1)， B(2， 2， 0)， D(0， 0， 0)， ∴ OA 1→＝ ( 1 ，－ 1 ， 2 ) ， OB→＝ ( 1 ， 1 ， 0 ) ， BG→＝ ( － 2 ， 0 ， 1 ) ， 而 OA 1→ MN→＝ 0. 解 法一 ( 基向量法 ) 設(shè) AB→＝ a ， AC→＝ b ， AA1→＝ c ，則由已知條件和正三棱柱的性質(zhì)，得 |a |＝ |b |＝ |c |＝ 1 ， a ＋14＝ 0. ∴ AB1→⊥ MN→， ∴ AB1⊥ MN . 法二 ( 坐標(biāo)法 ) 設(shè) AB 中點(diǎn)為 O ，作 OO 1 ∥ AA 1 . 以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB 為 x 軸， OC 為 y 軸，OO 1 為 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． 由已知得 A ( －12， 0 ， 0 ) ， B (12， 0 ， 0 ) ， C ( 0 ，32， 0 ) ， N ( 0 ，32，14) ， B 1 (12， 0 ，1 ) ， ∵ M 為 BC 中點(diǎn)， ∴ M (14，34， 0 ) ． ∴ MN→＝ ( －14，34，14) ， AB 1→＝ ( 1 ， 0 ， 1 ) ， 規(guī)律方法 將線線垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直問題后，注意選擇基向量法還是坐標(biāo)法，熟練掌握證明線線垂直的向量方法是關(guān)鍵． ∴ MN→ AB1→＝12( － a ＋ b ＋ c ) ( 0 ，32a ，a2) ＝ 0 ， 有32ay ＋a2z ＝ 0 ? z ＝－ 3 y . 取 y ＝ 1 ，得 n ＝ (1 ， 1 ，－ 3 ). 8 分 ∵ n ， ∠ ADB＝ 30176。b － c MN→＝ 0 或先建系，再證明 AB 1→ AB 1→＝－14＋ 0 ＋14＝ 0. ∴ M N→⊥ AB 1→， ∴ AB 1 ⊥ MN . 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1的各棱長都為 1，若側(cè)棱 C1C的中點(diǎn)為 D，求證： AB1⊥ A1D. 【 變式 1】 證明 設(shè) AB中點(diǎn)為 O，作 OO1∥ AA1，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB， OC， OO1，所在