3-2第2課時(shí)-文庫(kù)吧
2025-10-14 11:01 本頁(yè)面
【正文】 軸， OC 為 y 軸，OO 1 為 z 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 ． 由已知得 A ( －12， 0 ， 0 ) ， B (12， 0 ， 0 ) ， C ( 0 ，32， 0 ) ， N ( 0 ，32，14) ， B 1 (12， 0 ，1 ) ， ∵ M 為 BC 中點(diǎn)， ∴ M (14，34， 0 ) ． ∴ MN→＝ ( －14，34，14) ， AB 1→＝ ( 1 ， 0 ， 1 ) ， 規(guī)律方法 將線線垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量垂直問(wèn)題后，注意選擇基向量法還是坐標(biāo)法，熟練掌握證明線線垂直的向量方法是關(guān)鍵． ∴ MN→ AB 1→＝－14＋ 0 ＋14＝ 0. ∴ M N→⊥ AB 1→， ∴ AB 1 ⊥ MN . 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為 1，若側(cè)棱 C1C的中點(diǎn)為 D，求證： AB1⊥ A1D. 【 變式 1】 證明 設(shè) AB中點(diǎn)為 O，作 OO1∥ AA1，以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB， OC， OO1，所在直線分別為 x軸， y軸， z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 A 1 ( －12， 0 ， 1 ) ， C 1 ( 0 ，32， 1 ) ， A ( －12， 0 ， 0 ) ， B 1 (12， 0 ， 1 ) ， D ( 0 ，32，12) ， ∴ A 1 D→＝ (12，32，－12) ， AB 1→＝ ( 1 ， 0 ， 1 ) ， ∴ A 1 D→ AB 1→＝12＋ 0 －12＝ 0 ， ∴ A 1 D→⊥ AB 1→，即 AB 1 ⊥ A 1 D . 如圖所示，在正方體 ABCD－A1B1C1D1中， O為 AC與 BD的交點(diǎn)， G為 CC1的中點(diǎn)，求證： A1O⊥ 平面 GBD. 題型 二 證明線面垂直 【 例 2】 [ 思路探索 ] 可證明 A 1 O→與平面 G B D 內(nèi)兩個(gè)不共線向量垂直或建系后，證明 A 1 O→與平面 G B D 的法向量平行 ． 解 法一 設(shè) A 1 B 1→＝ a ， A 1 D 1→＝ b ， A 1 A→＝ c . 則 a b ＝ 0 ， b c ＝ 0 ， a c ＝ 0. 而 A 1 O→＝ A 1 A→＋ AO→＝ A 1 A→＋12( AB→＋ AD→) ＝ c ＋12( a ＋ b ) ， BD→＝ AD→－ AB→＝ b － a ， OG→＝ OC→＋ CG→＝12( AB→＋ AD→) ＋12CC1→＝12( a ＋ b ) －12c ， ∴ A1O→ BD→＝ ( c ＋12a ＋12b ) ( b － a ) ＝ c ( b － a ) ＋12( a ＋ b ) ( b － a ) ＝ c b － c a ＋12( b2－ a2) ＝12( |b |2－ |a |2) ＝ 0
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