20xx北師大版選修1-1高中數(shù)學(xué)211橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1-在線瀏覽
2025-01-19 23:27本頁面
【正文】 ，m ≠ n ) ． ② 確定未知量：根據(jù)已知條件列出關(guān)于 a 、 b 、 c 的方程組，解方程組，可得 a 、 b 的值，然后代入所設(shè)方程即可 ． 根據(jù)下列條件，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 ． ( 1 ) 經(jīng)過兩點(diǎn) A ( 0 , 2 ) ， B????????12， 3 的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 經(jīng)過點(diǎn) (2 ，－ 3) 且與橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 有共同的焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) x 2 ＋ y24 ＝ 1 ( 2 )x 210 ＋y 215 ＝ 1 [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)所求橢圓的方程為x2m＋y2n＝ 1( m 0 ， n 0 ) ， ∵ 橢圓過 A ( 0 , 2 ) ， B????????12， 3 . ∴????? 0m＋4n＝ 114 m＋3n＝ 1，解得????? m ＝ 1n ＝ 4， 即所求橢圓方程為 x2＋y24＝ 1. ( 2 ) ∵ 橢圓 9 x2＋ 4 y2＝ 36 的焦點(diǎn)為 (0 ， 177。 | PF 2 | | PF 2 |－ 2| PF 1 | | PF 2 | ( 1 ＋ c os θ ) ∴ S △ PF1F2＝12| PF 1 | sin θ1 ＋ c os θ＝ b2tanθ2. [方法規(guī)律總結(jié) ] P與橢圓的兩焦點(diǎn) F F2構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，解關(guān)于橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題時(shí)要充分利用橢圓的定義、三角形中的正弦定理、余弦定理等知識．對于求焦點(diǎn)三角形的面積，結(jié)合橢圓定義，建立關(guān)于|PF1|(或 |PF2|)的方程求得 |PF1|(或 |PF2|)的長度；有時(shí)把|PF1||PF2|及余弦定理求出 |PF1| ，則 △ F 1 PF 2 的面積為 ( ) A ． 2 3 B ． 3 C ． 4 D ． 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 根據(jù)橢圓的定義得 | PF1|＋ | PF2|＝ 4 3 ， 平方得 | PF1|2＋ | PF2|2＋ 2| PF1|| PF2|＝ 48 ① 在 △ F1PF2中，由余弦定理得 | F1F2|2＝ | PF1|2＋ | PF2|2－ 2| PF1|| PF2| c os60176。 ＝ 3 . 橢圓定義的應(yīng)用 已知 B、 C是兩個(gè)定點(diǎn)， |BC|＝ 8，且△ ABC的周長等于 18，求這個(gè)三角形的頂點(diǎn) A的軌跡方程． [分析 ] 由 △ ABC的周長等于 18， |BC|＝ 8，可知點(diǎn) A到 B、C兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是 10，所以點(diǎn) A的軌跡是以 B、 C為焦點(diǎn)的橢圓，但點(diǎn) A與點(diǎn) B、 C不能在同一直線上．適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系，可以求出這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． [ 解析 ] 以過 B 、 C 兩點(diǎn)的直線為 x 軸，線段 BC 的垂直平分線為 y 軸，建立直角坐標(biāo)系 x O y ，如圖所示 ． 由 | BC |＝ 8 ，可知點(diǎn) B ( － 4 , 0 ) ， C (4 ， 0) ， c＝ 4. 由 | AB |＋ | AC |＋ | BC |＝ 18 ， | BC |＝ 8 ，得 | AB |＋ | AC |＝ 1 0 . 因此，點(diǎn) A 的軌跡是以 B ， C 為焦點(diǎn)的橢圓，這個(gè)橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離之和 2 a ＝ 10 ，但點(diǎn) A 不在 x 軸上 ． 由 a ＝ 5 ， c ＝ 4 ，得b2＝ a2－ c2＝ 25 － 16 ＝ 9. 所以點(diǎn) A 的軌跡方程為x225＋y29＝1( y ≠ 0) ． [方法規(guī)律總結(jié) ] 本題用到了定義法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程． 利用橢圓的定義求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，應(yīng)先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)具有的條件，驗(yàn)證是否符合橢圓的定義，即動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是否是一常數(shù)，且該常數(shù) (定值 )大于兩點(diǎn)的距離，若符合，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，然后確定橢圓的方程． ( 1 ) 已知橢圓x216＋y29＝ 1 的左、右焦點(diǎn)分別為 F F2，過點(diǎn)F1的直線 l 交橢圓于 A 、 B 兩點(diǎn)，則 △ AB F2的周長是 ( ) A ． 6 B ． 8 C ． 12 D ． 16 ( 2 ) 已知兩圓 C1： ( x － 4)2＋ y2＝ 169 ， C2： ( x ＋ 4)2＋ y2＝ 9 ，動(dòng)圓和圓 C
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