black-scholes期權(quán)定價模型-在線瀏覽
2025-02-14 09:08本頁面
【正文】 NZ?t?2023/1/31 6 標(biāo)準(zhǔn)布朗運動（續(xù)） ? 考察變量 z在一段較長時間 T中的變化情形： ? z（ T）－ z(0)表示變量 z在 T中的變化量 ? 又可被看作是在 N個長度為 Δt的小時間間隔中 z的變化總量，其中N=T/ Δt 。 ? 為何定義為： ? 當(dāng)我們需要考察任意時間長度間隔中的變量變化的情況時，獨立的正態(tài)分布，期望值和方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性。 ? 相應(yīng)的一個結(jié)果就是：標(biāo)準(zhǔn)差的單位變?yōu)? ? 連續(xù)時間的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動： ? 當(dāng) Δt ?0時，我們就可以得到極限的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動 1( ) ( 0) N iiz T z t??? ? ??T tz t z??? ? ? ? ? ?而非年dz dt??2023/1/31 7 普通布朗運動 ? 變量 x遵循普通布朗運動： ? 其中， a和 b均為常數(shù)， z遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運動。 ? 這里的 b2為方差率（ Variance Rate），是指單位時間的方差。其中第一項adt為確定項，它意味著 x的期望漂移率是每單位時間為 a。這種噪音是由維納過程的 b倍給出的。這就是伊藤過程。由于 a 和 b都是 x和 t的函數(shù)，因此函數(shù) G也遵循伊藤過程，它的漂移率為 方差率為 ( , ) ( , )dx a x t dt b x t dz?? 2 221() 2G G G GdG a b dt bdzx t x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?2 2212G G Gabx t x? ? ???? ? ?22()G bx??2023/1/31 9 證券價格的變化過程 ? 目的：找到一個合適的隨機過程表達式，來盡量準(zhǔn)確地描述證券價格的變動過程，同時盡量實現(xiàn)數(shù)學(xué)處理上的簡單性。 一般 μ和 σ 的單位都是年。也被稱為幾何布朗運動 dSdS Sdt Sdz dt dzS? ? ? ?? ? ? ?或2023/1/31 10 BlackScholes微分方程：基本思路 ? 思路：由于衍生證券價格和標(biāo)的證券價格都受同一種不確定性（ dz）影響，若匹配適當(dāng)?shù)脑?，這種不確定性就可以相互抵消。若數(shù)量適當(dāng)?shù)脑?，?biāo)的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內(nèi)該投資組合是無風(fēng)險的。 2023/1/31 11 Black— Scholes微分方程 BS微分方程所需的假設(shè)條件 ： ? 證券價格遵循幾何布朗運動，且期望收益率 μ 和波動率 σ為常數(shù) ? 允許賣空標(biāo)的資產(chǎn) ? 沒有交易費用和稅收，所有證券都是完全可分的 ? 在衍生證券的有效期內(nèi)沒有紅利支付 ? 不存在無風(fēng)險套利機會 ? 證券交易是連續(xù)的，價格變動是連續(xù)的 ? 在衍生證券的有效期內(nèi)，無風(fēng)險利率 r為常數(shù)。令 代表該投資組合的價值， 則： (3) 在 時間后： （ 4） 將式（ 1）和（ 2）代入式（ 4），可得：
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