第3章(2)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-在線瀏覽
2024-09-17 10:55本頁面
【正文】 的分布函數(shù) F(x,y)，若存在 非負(fù)的函數(shù) f(x,y)使對(duì)任意 x,y，有 ? ??? ??? y x d u d vvufyxF ),(),(則稱 (X,Y)是連續(xù)型的二維隨機(jī)變量，函數(shù) f(x,y) 稱為 二維隨機(jī)變量 (X,Y)的 概率密度 或 X與 Y的 聯(lián)合概率密度 ▲ 聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì) 1. 非負(fù)性： 0),( ?yxf2. 規(guī)范性： 1),(),( ????? ???????Fd u d vvuf3. 概率的計(jì)算公式 ：設(shè) G是 xOy平面上的區(qū)域， (X,Y ) 落在 G內(nèi)的概率為 ????Gdx dyyxfGYXP ),(}),{(() 4. 若 f(x,y)在點(diǎn) (x,y)連續(xù)，則 ),(),(2 yxfyxyxF ????▲ 若 f(x,y) 在點(diǎn) (x,y)連續(xù)，當(dāng)和很小時(shí)，有 yxyxfyyYyxxXxP ??????????? ),(},{例 2 設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)具有概率密度 ??? ?????o t h e r w i s eyxeyxfyx,00,0,2),()2(（ 1）求分布函數(shù) F(x,y)；（ 2）求概率 。 因此 ??????Gdx dyyxfGYXPXYP ),(}),{(}{3/120 )2( ?? ? ?? ? ??y yx d x d ye▲ n維隨機(jī)變量 設(shè) E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間是 ，設(shè) ， ， ， 是定 義在 S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè) n維向量 叫做 n維隨機(jī)向量 或 n維隨機(jī)變量 。 ),( 21 nXXX ?nXXX , 21 ?167。 X和 Y作為單個(gè)隨機(jī)變量 也各有其分布函數(shù)，記為 和 ，依次稱為二維隨機(jī)變量 (X,Y)關(guān)于 X和關(guān)于 Y 的 邊緣分布函數(shù) 。 ?ip ),2,1( ??i jp? ),2,1( ??j▲ 對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 (X,Y)，設(shè)它的密度函數(shù)為 f(x,y)，因 ? ??? ??? ????????? xX dxdyyxfxFxF ),(),()(因此 ? ???? dyyxfxf X ),()(() 同樣 ? ???? dxyxfyf Y ),()( () 分別稱 為 (X,Y)關(guān)于 X 和關(guān)于 Y 的 邊緣概率密度 。 設(shè) D=D(N)是能整除 N的正整數(shù)的個(gè)數(shù)， F=F(N)是 能整除 N的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，試寫出 D和 F的聯(lián)合分布律， 并求邊緣分布律。 F的所有可能取值為 0,1,2。求二維正態(tài) 隨機(jī)變量的 邊緣概率密度。 167。因此 jijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????}{},{}|{ ?,2,1?i, ▲ 如上的條件概率滿足性質(zhì)： 1． 0}|{ ??? ji yYxXP2． 11}|{111????????????? ??????jjiijji jijiji ppppppyYxXPjijjjiji ppyYPyYxXPyYxXP????????}{},{}|{定義 設(shè) (X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的 j， 若 ，則稱 0}{ ?? jyYP?,2,1?i() ，為在條件下隨機(jī)變量 X的 條件分布律 。 例 2 一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 , 射擊直至擊中目標(biāo)兩次為止。 )10( ?? pp解：由題意， {Y=n}={在第 n次射擊時(shí)擊中目標(biāo)，且在第 1次 至第 n1次射擊中恰有一次擊中目標(biāo) } 因各次射擊相互獨(dú)立，只要 ，概率 為 nm ? },{ nYmXP ??22},{ ?????????? nqpqqqppnYmXP ?pq ?? 1 ，得到 X和 Y的聯(lián)合分布律為 22},{ ???? nqpnYmXP 1,2,1,3,2 ??? nmn ??， 容易計(jì)算 ?,2,1,1},{}{1121221221??????????????????????????mpqqqpqpqpnYmXPmXPmmmnnmnnmn?,3,2,)1(},{}{ 22112211???????? ???????? nqpnqpnYmXPnYP nnmnnm于是所求的條件分布律為 當(dāng) 時(shí)， ?,3,2?n1,2,1,11)1(}|{ 2222???????? ??nmnqpnqpnYmXPnn?當(dāng) 時(shí)， ?,3,2,1?m?,2,1,}|{ 1122??????? ????mmnpqpqqpmXnYP mnmn▲ 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布 設(shè) (X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，由于，因此 不能直接 利用條件概率公式定義 “ 條件分布函數(shù) ” 設(shè) (X,Y)的概率密度為 f(x,y)，（ X,Y）關(guān)于 Y的邊緣概率密度 為 。若對(duì)于固定的 y， ， 則稱 為在 Y=y的條件下 X的條件概率密度，記為 )(yfY 0)( ?yf Y)(),(yfyxfY)(),()|(| yfyxfyxfYYX ?() 稱 為在 Y=y條件下， X的條件分布函數(shù)，記為 ?? ???? ? xYxYX dxy
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