【正文】 則兩條船相距(　　)A．10m B．100mC．20m D．30m[答案]　D[解析]　設(shè)炮塔頂A、底D，兩船B、C，則∠ABD＝45176?！螧DC＝30176。DC＝900，∴BC＝30.31．如圖所示，在山底A處測得山頂B的仰角∠CAB＝45176。的山坡向山頂走1 000m到達S點，又測得山頂仰角∠DSB＝75176。－30176?！蟂BA＝∠ABC－∠SBC＝45176。－75176。在△ABS中，AB＝＝＝1 000，∴BC＝AB＝1 000＝1 000(m)．二 填空題1．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，則∠C的大小為________．解析：利用正弦定理及三角形內(nèi)角和性質(zhì)求解．在△ABC中，由正弦定理可知＝，即sin B＝＝＝.又∵ab，∴∠B＝.∴∠C＝π－∠A－∠B＝.答案：2．在△ABC中，若B＝30176?；?20176。時，A＝90176。時，A＝30176。＝1.答案：1或23．在銳角ABC中，若a＝3，b＝3，則邊長c的取值范圍是________．解析：因為b＞a，所以只要∠B，∠C為銳角即可，只要cos B＞0，cos C＞0.答案：4．三角形的一邊長為14，這條邊所對的角為60176。＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另兩邊長分別是16,10.所以這個三角形的面積S＝1610＝40.答案：405．如圖所示，為了測量河的寬度BC，最適宜測量的兩個數(shù)據(jù)是________．[答案]　AC與∠A．[解析]　由圖可知，AB與BC不能直接測量．6．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在點A處望見燈塔S在船的北偏東30176。方向上，則船在點B時與燈塔S的距離是______ km.( km)[答案]　[解析]　作出示意圖如圖．由題意知，則AB＝24＝6，∠ASB＝35176。方向，航行30n mile后測得此島在東北方向，若不改變航向，則此船________觸礁危險(填“有”或“無”)．[答案]　無[解析]　如圖所示，由題意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30176?！唷螦CB＝15176。的B處，乙船正以a n mile/h的速度向北行駛．已知甲船的速度是a n mile/h，問甲船應(yīng)沿著________方向前進，才能最快與乙船相遇？[答案]　北偏東30176。－60176。由＝，得sin∠CAB＝＝＝.∵0176。∴∠CAB＝30176。－30176。.即甲船應(yīng)沿北偏東30176。c＝，a＝2，解此三角形．解析：＝?sin C＝＝＝，當C＝60176?！郻＝＝＋1.當C＝120176?！郻＝＝－1.2．在△ABC中，若acos A＝bcos B，試判斷△ABC的形狀．解析：由正弦定理得，a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，由acos A＝bcos B得，sin Acos A＝sin Bcos B，即sin 2A＝sin 2B，∵2A、2B∈(0,2π)，∴2A＝2B或2A＋2B＝π.即A＝B或A＋B＝，∴△ABC為等腰或直角三角形．3．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，求B的度數(shù)．解析：因為sin2B－sin2C－sin2A＝sin Asin C，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：cos B＝＝－，又0176?！郆＝150176。.5．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊，c＝asin C－ccos A.(1)求A。D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長．解析：在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝＝＝－.∴∠ADC＝120176。在△ABD中，AD＝10，∠B＝45176。由正弦定理得＝.∴AB＝＝＝＝5.7．如圖所示，兩點C、D與煙囪底部在同一水平直線上，在點CD1， m的測角儀器，測得煙囪的仰角分別是α＝45176。C、D間的距離是12 m，計算煙囪的高AB.( m) [解析]　在△BC1D1中，∠BD1C1＝120176。.由正弦定理＝，∴BC1＝＝18＋6，∴A1B＝BC1＝18＋6，則AB＝A1B＋AA1≈(m)．8．在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45176。的方向，距離A處2n mile的C處的緝私船奉命以10n mile/h的速度追截走私船．此時，走私船正以10n mile/h的速度從B處向北偏東30176。AC＝6，∴BC＝.在△BCD中，由正弦定理，得sin∠ABC＝sin∠BAC＝，∴∠ABC＝45176。.在△BCD中，由正弦定理，得＝，∴＝，∴sin∠BCD＝，∴∠BCD＝30176。的方向能最快追上走私船.9．如圖，我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點C和D處，已知CD＝6 000 m．∠ACD＝45176。目標出現(xiàn)于地面B處時測得∠BCD＝30176。.求炮兵陣地到目標的距離．(結(jié)果保留根號)[分析]　由于∠ADC＝75176?！唷螦DB為直角．題中有多個三角形而抓住△ABD為Rt△作為突破口可簡化計算．[解析]　在△ACD中，∠CAD＝60176。BD＝＝CD，∠ADB＝90176。的方向，30min后航行到B處，在B處看燈塔在船的北偏東65176。∠S＝45176。≈(n mile)．∵h mile，∴此船可以繼續(xù)沿正北方向航行.強化練習(xí)一 選擇題1．在△ABC中，a＝10，B＝60176。則c＝______.A．10＋　　　　　　　 B．10(－1)C．10(＋1) D．10[答案]　B[解析]　A＝75176。＋45176。cos45176。sin45176。C＝80176。C．a(chǎn)＝14，b＝16，A＝45176。[答案]　C[解析]　解法一：A中已知兩角及一邊有唯一解；B中已知兩邊及夾角，有唯一解；C中，bsinA＝814＝ab有兩解；D中，A是最大角，但ac，∴無解．解法二：由a＝14，b＝16，A＝45176。所以角B有兩解．[點評]　由正弦定理確定三角形的邊角時，要注意大角對大邊等性質(zhì)的限制作用．既不能漏解，也不能多解．3．在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，則此三角形是(　　)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．直角或等腰三角形[答案]　D[解析]　由正弦定理得：sin2A∴sinAcosA＝sinBcosB.∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45176。則a＝(　　)A. B.C. D.[答案]　D[解析]　由正弦定理得sinC＝＝＝，∵bc，B＝45176?！郈＝30176。－B－C＝105176。的值為(　　)A．－2 B．2C．177。2[答案]　B[解析]　由正弦定理得：S△ABC＝ABsinA＝2sinA＝，∴sinA＝，∵A為銳角，∴cosA＝.∴||的直角三角形B．等腰直角三角形C．有一內(nèi)角為30176?！郃＝B＝45176。C＝45176。sin105176。＋45176。cos45176。sin45176。k2＝－1，∴兩直線垂直．11．在△ABC中，若abc，且c2a2＋b2，則△ABC為(　　)A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．不存在[答案]　B[解析]　∵c2a2＋b2，∴∠C為銳角．∵abc，∴∠C為最大角，∴△ABC為銳角三角形．12．在鈍角三角形ABC中，若sinAsinBsinC，則(　　)A．cosAcosC0C．cosAcosB B．45176。 D．120176。.14．在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60176。醴陵二中、四中期中)在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于(　　)A. B.C. [答案]　C[解析]　a2＝b2＋c2＋bc變形為＝－∴cosA＝－，∴A＝.16．(2010～2011b＝1，S△ABC＝，則等于(　　)A. B.C. D.[答案]　B[解析]　由正弦定理及等比定理知＝＝＝＝2R.∵S△ABC＝bcsinA＝ctanC，則△ABC的面積為(　　)A. B．3C. D.[答案]　C[解析]　∵tanB＋tanC＋＝tanBtanC)?＝－?tan(B＋C)＝－，∴B＋C＝120176。由a＝4，b＋c＝5及余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，∴16＝25－2bc－2bc山東蒼山高二期中)在△ABC中，若＝，則角B等于(　　)A．30176。C．60176。[答案]　B[解析]　由正弦定理知＝，∵＝，∴sinB＝cosB，∵0176?！郆＝45176。福建)已知銳角△ABC的面積為3，BC＝4，CA＝3，則角C的大小為(　　)A．75176。　　　C．45176。[答案]　B[解析]　∵3＝43sinC，∴sinC＝，∵△ABC為銳角三角形，∴C＝60176。如果△ABC有兩解，則x的取值范圍是(　　)A．x2 B．x2C．2x D．2x≤[答案]　C[解析]　欲使△ABC有兩解，須asin60176。山東臨清高二期中)△ABC中，BC＝2，B＝，當△ABC的面積等于時，sinC等于(　　)A. B. C. D.[答案]　B[解析]　由正弦定理得S△ABC＝BCBC四川文，8)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是(　　)A．(0，] B．[，π)C．(0，] D．[，π)[答案]　C[解析]　設(shè)△ABC外接圓半徑為R，則由正弦定理得，()2≤()2＋()2－－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝，∴選B.30．△ABC中，下列結(jié)論：①a2b2＋c2，則△ABC為鈍角三角形；②a2＝b2＋c2＋bc，則∠A為60176。錯誤；③cosC＝0，∠C為銳角，但∠A與∠B不一定為銳角，錯誤；④∠A＝30176。∠C＝90176。然后朝新方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好 km，那么x的值為(　　)A.　　　　　　　　 B．2C．2或 D．3[答案]　C[解析]　由題意畫出三角形如圖．則∠ABC＝30176。＝，∴x＝2或.32．如圖，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，在下列四組數(shù)據(jù)中，考慮實際操作的可能性，測量時應(yīng)當選用數(shù)據(jù)(　　)A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b[答案]　C[解析]　由于受障礙物影響，從A觀察B或從B觀察A，均不方便，故角α，β不便測量，因此應(yīng)當選擇數(shù)據(jù)a，b，γ來進行測量．33．已知△ABC的三邊長a＝3，b＝5，c＝6，則△ABC的面積是(　　)A. B．2C. D．2[答案]　B[解析]　解法1：作AB邊上的高CD，設(shè)BD＝x，則AD＝6－x，于是CD2＝9－x2＝25－(6－x)2，所以x＝，CD＝，S△ABC＝AB燈塔B在觀察站C的南偏東40176。AC＝BC＝a，由余弦定理可得AB＝a(km)．35．(08那么角A等于(　　)A．135176。C．45176。[答案]　C[解析]　由正弦定理得，＝，∴sinA＝＝＝，又∵ab，∴AB，故A＝45176。的視角，從B島望C島和A島成75176。－(60176。)＝45176?！螩AB＝105176。由正弦定理得，＝∴AB＝＝＝50(m)．38．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60176。方向上，則這艘船的速度是每小時(　　)A．5海里 B．5海里C．10海里 D．10海里[答案]　C[解析]　如圖，依題意有∠BAC＝60176?！唷螩AD＝∠CDA＝15176。山東臨清高二期中)已知船A在燈塔C北偏東85176。且到C的距離為km，則A，B兩船的距離為(　　)A．2km B．3km [答案]　D[解析]　如圖可知∠ACB＝85176。－25176。AC＝2，BC＝，∴AB2＝AC2＋BC2－2ACcos150176。寧夏銀川一中高二期中)△ABC的三內(nèi)角A、B、C的對邊邊長分別為a、b、c，若a＝b，A＝2B，若cosB＝(　　)A. B.C. D.[答案]　B[解析]　由正弦定理及條件a＝b，A＝2B得，sinA＝sinB，sinA＝sin2B，∴sinB＝2sinB塔基的俯角為45176。＝20.∴塔吊高為BC＝BO＋OC＝20(1＋)(m)42．△ABC的對邊分別為a、b、c且a＝1，B＝45176。方向駛?cè)?，則行駛15分鐘時，兩船的距離是(　　) [答案]　B[解析]　由題意知AM＝8＝2，BN＝12＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理得MN2＝MB2＋BN2－2MB＝1＋9－213(－)＝13，所以MN＝km.45．在地面上點D處，測量某建筑物的高度，測得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60176。已知建筑物底部高出地面D點20m，則建筑物高度為(　　)A．20m B．30mC．40m D．60m[答案]　C[解析]　設(shè)O為塔頂在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30176。tan60176。沿傾斜角為30176。則山高BC為(　　)A．500m B．200mC．1000m D．1000m[答案]　D[解析]　∵∠SAB＝45176。＝15176。－(90176。)＝30176。sin45176。；從電視塔的西偏南30176。A、B間距離是35 m，則此電視塔的高度是(　　)A．5m B．10m D．35m[答案]　A[解析