高一數學同角三角函數的基本關系與誘導公式-在線瀏覽
2025-01-14 21:11本頁面
【正文】 ， 又 α ∈ (32π ， 2π ) ， ∴ c o s α ＝35， ta n α ＝－43， ∴s in α ＋ c o s αs in α － c o s α＝tan α ＋ 1tan α － 1＝－43＋ 1－43－ 1＝17，故選 A. 誘導公式的應用 【例 2 】 ( 2 0 1 0 年浙江寧波市聯考 ) 已知 π α 2 π ， c o s ( α － 7π ) ＝－35， 則 s in ( 3π ＋ α ) ta n ( α －72π ) ＝ s in ( π ＋ α ) t a n (π2－ α ) ＝ s i n α co s αs i n α＝ c o s α ＝35. 故選 C. 熟練運用誘導公式和基本關系式 ， 并確定相應三角函數值的符號是解題成敗的關鍵 ． 另外 ， 切化弦是常用的規(guī)律技巧 ． 變式探究 21 ： ( 2 0 1 0 年廣東惠州模擬 ) 已知 f ( x ) ＝s in ? π － x ? c o s ? 2π － x ? t a n ? － x ＋ π ?c o s ? －π2＋ x ?， 則 f ( －31π3)的值為 ( ) ( A )12 ( B ) －12 ( C )32 ( D ) －32 解析： ∵ f ( x ) ＝s in x ? － ta n x ?s in x ＝－ c o s x c o s α 的值，則可求 ( s in α － c o s α )2的值，進而求 s in α － c o s α 的值 ． ( 2 ) 化簡所求，并分解因式，利用 ( 1 ) 的結果求解 ． 解： 由 s i n ( π － α ) － c o s ( π ＋ α ) ＝23， 得 s in α ＋ c o s α ＝23， 兩邊平方 ， 得 1 ＋ 2 s i n α c o s α ＝－79. 又π2 α π ， ∴ s in α 0 ， c o s α 0 . ( 1 )( s in α － c o s α )2＝ 1 － 2 s i n α s in α ＋ s in2α ) ＝－43 ( 1 －718) ＝－2227. 當已知 s i n α ＋ co s α ( 或 s i n α － co s α ) 的值，求 s i n α － co s α ( 或 s i n α ＋ co s α ) 或 s i n α co s α 的值時，常采用整體思想，即將其兩邊平方，所以 s i n α c o s α 及 s i n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 之間存在必然的聯系，即 s i n α ) ＝ k ， 那么 t a n 1 0 0 176。 ) ＝ k ， ∴ c o s 8 0 176。 ＝ 1 － k2， ∴ ta n 8 0 176。c o s 8 0 176。 ＝ t a n ( 1 8 0 176。 ) ＝－ ta n 8 0 176。 t a n 2 ? π － α ?co s ?π2－ α ? s i n ?π2＋ α ?＝ _ _ _ _ _ _ _ _ . 解析： ∵ 方程 5 x2－ 7 x － 6 ＝ 0 的根為 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－35，由題意知， s i n α ＝－35， ∴ c o s α ＝－45， t a n α ＝34. ∴ 原式＝co s α t an2αs i n α 22. ( 1 ) 當 c o s A ＝22時， c o s B ＝32， 又 A 、 B 是三角形內角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π. ( 2 ) 當 c o s A ＝－22時， c o s B ＝－32. 又 A 、 B 是三角形內角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合題意 ． 所以 C ＝712π ，故選 D. 錯源：非等價變形產生增解 【例題】 已知 θ ∈ ( 0 ， π ) ， s i n θ ＋ co s θ ＝3 － 12， 則 t a n θ 的值為 ( ) ( A ) － 3 或 －33 ( B ) －33 ( C ) － 3 ( D ) －32 錯解： 由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12兩邊平方得： 1 ＋ 2 s in θ c o s θ ＝－34， ∴ s in θ c o s θs in2θ ＋ c o s2θ＝tan θ1 ＋ ta n2θ＝－34 解之得 ta n θ ＝－ 3 或 ta n θ ＝－33，故選 A. 錯解分析： 由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12兩邊平方擴大了 θ 的取值范圍引起增解 ． 正解：法一： 由 s in θ ＋ c o s θ ＝3 － 12兩邊平方 得 s in θ c o s θ ＝s in θ c o s θ ＝－34， ∴ ( s in θ －
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