圓錐曲線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-在線瀏覽
2025-01-13 23:44本頁(yè)面
【正文】 在 x軸上；當(dāng) λ0時(shí)，焦點(diǎn)在 y軸上。比較上述兩種解法可知，引入適當(dāng)?shù)膮?shù)可以提高 解題質(zhì)量，特別是充分利用含參數(shù)方程的幾何意義，可以更準(zhǔn)確地理解解析幾何的基本思想。kPN的值 . x2 的左、右頂點(diǎn)分別為 A A2，垂直于 x軸的直線 m與雙曲例 4. 設(shè)雙曲線 C： 2 線 C交于不同的兩點(diǎn) P、 Q。 解：（ 1）由題，得 ，設(shè) 則 由 即 ① 2 x02 又 P(x0,y0)在雙曲線上，則 ② 2 x2 故可設(shè)直線 l的方程為 ，代入 中，得 2 設(shè) 且 則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ⑤ 20202020 聯(lián)立 ① 、 ② ，解得 由題意， ∴ 點(diǎn) T 的坐標(biāo)為（ 2， 0） …………3 分 （ 2）設(shè)直線 A1P 與直線 A2Q的交點(diǎn) M的坐標(biāo)為（ x， y） 由 A P、 M三點(diǎn)共線，得 2 . …… ⑥ …………2 分 2 ∵ ∴ 有 ，且 將 ⑤ 式平方除以 ⑥ 式，得 ③ …………1 分 由 A Q、 M三點(diǎn)共線，得 y1y24k214k2 …………1 分 由 ④ …………1 分 聯(lián)立 ③ 、 ④ ，解得 511 2 . …………1 分 x 分 ∵ ∵ P(x0,y0)在雙曲線上， 2 ()2 ∴ 2x 又 故 2 2 2 x2 分 ∴ 軌跡 E的方程為 2 （ 3）容易驗(yàn)證直線 l的斜率 不為 0。 912 （ 2）由雙曲線 C的方程可得 又 所以 △ A1PA2的重點(diǎn) G（ 2,2） 設(shè)直線 l的方程為 代入 C的方程，整理得 12711712 ∴ ，即 7 4 17. 2 ∴ 2 2 71169 而 ， ∴ 16232 ∴ 又設(shè) ③ ③ 2 ]. 8 21 的雙曲線 C經(jīng) 3 變式訓(xùn)練 4： )已知中心在原點(diǎn)，左、右頂點(diǎn) A A2 在 x軸上，離心率為 過(guò)點(diǎn) P（ 6,6），動(dòng)直線 l經(jīng)過(guò) △ A1PA2的重心 G與雙曲線 C交于不同兩點(diǎn) M、 N， Q為線段 MN的中點(diǎn) （ 1）求雙曲線 C的標(biāo)準(zhǔn)方程 （ 2）當(dāng)直線 l的斜率為何值時(shí)， 。 整理得 解得 2 ④③ x2y2 解（ 1）設(shè)雙曲線 C的方程為 ab 2 由 ③ ，可得 2 即 333a 3① a 3636 又 P（ 6,6）在雙曲線 C上， ab 由 ① 、 ② 解得 11 2 2 解得 且 ⑤ ③ 由 ④ 、 ⑤ ，得 ②② 1．復(fù)習(xí)雙曲線要與橢圓進(jìn)行類(lèi)比，尤其要注意它們之間的區(qū)別，如 a、 b、 c、 e的關(guān)系． 2．雙曲線的漸近線的探求是一個(gè)熱點(diǎn)． ① 已知雙曲線方程求漸近線方程； ② 求已知漸近線方 程的雙曲線方程． 3．求雙曲線的方程，經(jīng)常要列方程組，因此，方程思想貫穿解析幾何的始終，要注意定型（確定曲線形狀）、定位（曲線的位置）、定量（曲條件求參數(shù)）． 4．求雙曲線的方程的常用方法： (1) 定義法． (2) 待定系數(shù)法．涉及到直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，經(jīng)常是 “設(shè)而不求 ”． 5．對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系，要注意 “數(shù)形轉(zhuǎn)化 ”“數(shù)形結(jié)合 ”，既可以轉(zhuǎn)化為方程組的解的個(gè)數(shù)來(lái)確定，又可以把直線與雙曲線的漸近線進(jìn)行比較，從 “形 ”的角度來(lái)判斷． 特別地，當(dāng) 時(shí)， AB 為拋物線的通徑，且 AB＝ ． 2 iii) S△ AOB＝ （表示成 P 與 θ的關(guān)系式）． iv) 11 為定值，且等于 ． |AF||BF| 例 1. 已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 x軸，拋 物線上的點(diǎn) 到焦點(diǎn)的距離為 5，求拋物線的方程和 n的值． 第 3課時(shí) 拋 物 線 p解：設(shè)拋物線方程為 ，則焦點(diǎn)是 21．拋物線定義：平面 和 距離 的點(diǎn)的軌跡叫拋物線， ∵ 點(diǎn) A(－ 3， n)在拋物線上，且 | AF |＝ 5 叫拋物線的焦點(diǎn)， 叫做拋物線的準(zhǔn)線 (注意定點(diǎn)在定直線外，否則，軌跡將退化為一 條直線 )． 故 解得 P＝ 4， ．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程 ① 故所求拋物線方程為 ② ，焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ． ③ ． ④ ． 3．拋物線的幾何性質(zhì)：對(duì) 進(jìn)行討論． ① 點(diǎn)的范圍： 、 ． ② 對(duì)稱性：拋物線關(guān)于 軸對(duì)稱． ③ 離心率 ． ④ 焦半徑公式：設(shè) F 是拋物線的焦點(diǎn)， P(xo,yo)是拋物線上一點(diǎn)，則 ⑤ 焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式：設(shè) AB 是過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條弦 (焦點(diǎn)弦 ) i) 若 A(x1,y1)， B(x2,y2)，則 AB， y1y2． ii) 若 AB 所在直線的傾斜角為 則 AB＝ ． 12 2 2 變式訓(xùn)練 1：求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是 x 軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于 6 的拋物線方程． 解：因?yàn)閷?duì)稱軸是 x軸，可設(shè)拋物線方程為 或 ∵ ， ∴ p＝ 12 故拋物線方程為 或 例 2. 已知拋物線 C： 的焦點(diǎn) 為 F，過(guò)點(diǎn) F的直線 l與 C相交于 A、 B． (1) 若 16 ，求直線 l的方程． 3 p2 (2) 求 AB 的最小值． 解： (1)解法一： 設(shè)直線 l的方程為： 代入 整理得， 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2) 則 y1,y2是上述關(guān)于 y的方程的兩個(gè)不同實(shí)根，所以 根據(jù)拋物線的定義知：| AB |＝ ＝ 1616若 ，則 333 過(guò) P作 PQ垂直于準(zhǔn)線于 Q點(diǎn)，由拋物線定義得 |PQ|＝ | PF |， ∴ | PF |＋ | PA |＝ | PA |＋ | PQ | 要使 | PA |＋ | PQ |最小， A、 P、 Q三點(diǎn)必共線，即 AQ 垂直于準(zhǔn)線， AQ 與拋物線的交點(diǎn)為P 點(diǎn) 從而 |PA|＋ |PF|的最小值為 此時(shí) P的坐標(biāo)為 (2， 2) 變式訓(xùn)練 3：一個(gè)酒杯的軸截面是拋物線的一部分，它的方程是 ，在杯 。) 2 變式訓(xùn)練 2：過(guò)拋物線 y＝ 4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于 A、 B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于 5，則這樣的直 線 （ ） A．有且僅有一條 B．有且僅有兩條 C．
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