【正文】 段外力 在微段 變形位移 上作的虛功之和 δ Wi。 a ba? b?b? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 任何一個處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個虛 位移時，變形體所受外力在虛位移上所作的總虛功 δ We,恒 等于變形體各 微段外力 在微段 變形位移 上作的虛功之和 δ Wi。 a ba? b?b?幾個問題 : 1. 虛功原理里存在兩個狀態(tài)： 力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào) 條件。 2. 原理的證明表明 :原理適用于 任何 (線性和非線性 )的 變形體 ，適用于 任何結(jié)構(gòu) 。 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)， 將 位移分析化為平衡問題來求解 。 圖 a所示為力狀態(tài)，圖 b所示為位移狀態(tài)。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 虛應(yīng)變能 當(dāng)結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)的外力因結(jié)構(gòu)的位移狀態(tài)的位移作虛功時 ， 力狀態(tài)的內(nèi)力也因位移狀態(tài)的相對變形而作虛功 。 當(dāng)略去高階微量后 ， 微段上的虛應(yīng)變能可表為 結(jié)構(gòu)力學(xué) 力狀態(tài) dx (a) 位移狀態(tài) dx (b) 結(jié)構(gòu)力學(xué) FQ1 dx FN1 M1 11 dFF ?11 NN dFF ?11 dMM ?(c) dx dxdu 22 ??(d) dx dxdu 22 ??2?(e) dx 2?d2?d221?? ?(f) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 212121 ?? dMdvFduFw QNi ?????? ?????? 212121 ?dMdvFduFw QNi??? ?????? dxMdxFdxFw QNi 212121 ???將上式表示的微段虛應(yīng)變能沿桿進(jìn)行積分 ， 然后對結(jié)構(gòu)的全部桿件求和 ， 即得桿件結(jié)構(gòu)的虛應(yīng)變能為 或 結(jié)構(gòu)力學(xué) 2. 虛功方程 根據(jù)虛功原理，虛功方程為： ??? ?????? 212121 ?dMduFduFW QN??? ?????? dxMdxFdxFW QN 212121 ???或 結(jié)構(gòu)力學(xué) 虛功原理的兩種應(yīng)用 已知平衡的力狀態(tài) ， 應(yīng)用虛功方程求位移 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 1）虛功原理用于 虛設(shè)的 協(xié)調(diào)位移狀態(tài) 與實(shí)際的 平衡力狀態(tài) 之間。 FP A B a C (a) b 解：去掉 A端約束并代以反力 X，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)如圖 (b)、 (c) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 0P ???? CX FX ??0???? XXabPX ??PabX ??待分析平衡的力狀態(tài) X (b) FP 由外力虛功總和為零，即： X?C?(c) 直線 虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 通常取 xX ?? ?? 1單位位移法 (UnitDisplacement Method) (1)對靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是 實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程 ，即 0??BM幾點(diǎn)說明： (3)求解時關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例 . 求 A 端支座發(fā)生豎向位移 c 時引起 C點(diǎn)的豎向位移 ?. (a) A B a C b A?C? ?c 2）虛功原理用于 虛設(shè)的 平衡力狀態(tài) 與 實(shí)際的 協(xié)調(diào)位移狀態(tài) 之間。即，在擬求位移之點(diǎn)（ C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置 單位荷載 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) (3)求解時關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。 單位荷載法 的虛功方程 幾何方程 返回首頁 結(jié)構(gòu)力學(xué) 單位荷載法 一、位移計(jì)算的一般公式 (General Formula of Displacements) 將虛功原理用于 實(shí)際協(xié)調(diào)位移 和 虛設(shè)平衡力狀態(tài)間 已介紹過 —— 單位荷載法。 現(xiàn)在的目的是求解外界因素作用下的結(jié)構(gòu)位移 ， 我們將待求位移的結(jié)構(gòu)狀態(tài)視為虛功原理中的位移狀態(tài) 。 若這個平衡的力狀態(tài)是對應(yīng)于待求位移的一個單位力狀態(tài)的話 ， 則單位力在虛位移上所作的總虛功恰好等于待求的位移值 。 結(jié)構(gòu)力學(xué) FP ?k k q(x) (a) 需求位移結(jié)構(gòu) X=1 (b) 單位廣義力狀態(tài) 結(jié)構(gòu)力學(xué) 將待求的位移記作 ?，由虛功原理的虛功方程可得 式中除 ?外其他符號的含義說明如下： RiQN FMF、F 、 、 分別為單位廣義力狀態(tài)中的軸力、 剪力 、 彎矩 、 支座反力； 表示對所有桿求和 ， 積分上限 l為桿長： e?du、 dv、 d?、 ci分別為外界因素作用下待求位移結(jié)構(gòu)的虛軸向變形、虛剪切變形、虛轉(zhuǎn)角和支座位移。 sEIMMGAFFEA FF Pl QPQNPNed)(0????? ? ?二、 荷載作用下位移計(jì)算的一般公式 結(jié)構(gòu)力學(xué) 材料力學(xué)中關(guān)于基本受力與變形形式下 ，內(nèi)力與變形關(guān)系已有如下結(jié)論： ? 拉壓變形 ? 彎曲變形 ? 扭轉(zhuǎn)變形 ? 剪切變形 EAlFlEAF NN ??? 。如：對矩形截面 k=6/5。 結(jié)構(gòu)力學(xué) 一般公式的普遍性表現(xiàn)在： 2. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié) 構(gòu)；靜定和超靜定結(jié)構(gòu)； 1. 位移原因：荷載、溫度改變、支座移動等； 3. 材料性質(zhì)：線性、非線性； 4. 變形類型：彎曲變形、拉 (壓 )變形、剪切 變形； 5. 位移種類：線位移、角位移；相對線位移 和相對角位移。 A ??A?(a) P=1 P=1 P=1 結(jié)構(gòu)力學(xué) A B C d ??BC?(c) dP1?dP1?A B C 2d1d(d) ??? ACAB?11d11d21d21d試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。 結(jié)構(gòu)力學(xué) P=1 ??A?(g) A ??AB?(h) A B P=1 P=1 試確定指定廣義位移對應(yīng)的單位廣義力。 解：構(gòu)造虛設(shè)狀態(tài) （實(shí)際狀態(tài)） 分別列出實(shí)際狀態(tài)和虛擬狀態(tài)中各桿的內(nèi)力方程（或畫出內(nèi)力圖），如： （虛擬狀態(tài)） 結(jié)構(gòu)力學(xué) qx x PFQql ql PFNx 221qxPM221ql荷載內(nèi)力圖 x x l Mx 1 PFQ1 PFN單位內(nèi)力圖 結(jié)構(gòu)力學(xué) 內(nèi)力的正負(fù)號規(guī)定如下： 軸力 以拉力為正； NN , FF P剪力 使微段順時針轉(zhuǎn)動 者為正； , FF P彎矩 只規(guī)定乘積的正負(fù)號。 MM P , 結(jié)構(gòu)力學(xué) 將內(nèi)力方程代入公式 討論： 22 54~)(,58~)(,1~)(G A lk E IAlIQAyNAyMAy ???軸向 剪切 彎曲 ? ?? ?? ? ??? GA sFFkEA sFFEI sMM PPPAy ddd NN?)5 45 81(85 224G A lk E IAlIEIql ??? ，有： 引入符號 結(jié)構(gòu)力學(xué) 56,12,3??? kbhIbhA22 )(252~)(,)(152~)(lhGElhQAyNAy ??問題： 的取值范圍是什么？ GE)1(2 ???EG ?? ?32 ?? GE設(shè)桿件 截面 為 b?h 的矩形截面桿，有： 結(jié)構(gòu)力學(xué) %)()(,%)()(??MAyNAyMAyQAy????因此 ,對受彎細(xì)長桿件 ,通常略去 FN, FQ的影響 。 1. 對梁和剛架： ? ??EIsMM PPd ?2. 對桁架： ?? ? ?? EA lFFEA sFF PPP NNNN d?3. 對組合結(jié)構(gòu)： ?? ? ?? EA lFFEI sMM PPP NNd? 結(jié)構(gòu)力學(xué) 例 2：求曲梁 B點(diǎn)的豎向位移 和水 平位移 。圖中 右半部各括號內(nèi)數(shù)值為桿件的截面積 A ，設(shè) E=210GPa。 圖乘法及其應(yīng)用 (Graphic Multiplication Method and its Applications) 剛架與梁的位移計(jì)算公式為： 結(jié)構(gòu)力學(xué) 一、圖乘法 ? sEIMM P d?? sMMEI P d1? ?? xMxEI P dt an1 ??? xxMEI P dt a n ?cc yEIxEI ??? 1t an ????(對于等 截面桿 ) (對于直桿 ) ?? xMMEI P d1)t a n( ?xM ?圖乘法求