[工學(xué)]第12章虛位移原理-在線瀏覽
2025-05-31 22:19本頁(yè)面
【正文】 – 自由質(zhì)點(diǎn)系 ： 質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) (軌跡 、 速度等 )只取決于作用力和運(yùn)動(dòng)的初始條件 ， 其運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為自由運(yùn)動(dòng) 。 2. 約束方程 用數(shù)學(xué)方程來(lái)表示的限制條件稱(chēng)為 約束方程 。 121 虛位移與虛功 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 8 C x o y 運(yùn)動(dòng)約束方程 瞬心 C M M xC r ω P vC ? 對(duì)質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系不僅有位移方面的限制 ， 而且有速度或角速度方面的限制 。 輪 C在水平軌道上 純滾動(dòng) 的條件表達(dá)為 或 = 0CCyrvr??? ???? 運(yùn)動(dòng)約束： 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的某些運(yùn)動(dòng) 條件的限制。 其中擺錘 M可簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)，軟線是擺錘的約束，初始長(zhǎng)度為 l0， 穿過(guò)固定的小圓環(huán)，以不變的速度 v向左下方拉拽。 f (x, y, z) = 0 ? 非定常約束 (不穩(wěn)定約束 )： 約束方程中顯含時(shí)間 t。 ? 單面約束 (非固執(zhí)約束 )： 如果約束僅限制質(zhì)點(diǎn)在某一方向的運(yùn)動(dòng) 。 ? 非完整約束： 約束方程含導(dǎo)數(shù)且不可積分 ， 即約束方程總是微分形式 。 2. 虛位移 在某瞬時(shí) ， 質(zhì)點(diǎn)系 在約束所允許的條件下 ， 可能實(shí)現(xiàn)的 、 任何的無(wú)限小位移 ?r。 ? 與實(shí)位移相比： – 虛位移是無(wú)限小的位移；實(shí)位移可為無(wú)限小，也可為有限值； – 虛位移是假想的位移，與時(shí)間、力、質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)情況無(wú)關(guān)； – 在穩(wěn)定幾何約束下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位移之一。 綜上所述： 實(shí)位移是力學(xué)現(xiàn)象； 虛位移是幾何概念。 121 虛位移與虛功 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 14 M M 在圖示瞬時(shí)，物塊 M在 dt內(nèi)發(fā)生的無(wú)限小的實(shí)位移 dr沿斜面向下。 dr δr1 δr2 例 1 物塊 M置于固定斜面上，斜面對(duì)物塊 M的約束是 定常約束 。 可見(jiàn) ， 在 定常幾何約束 下，質(zhì)點(diǎn)系無(wú)限小的實(shí)位移是其虛位移之一。 F m δr ? 設(shè)質(zhì)點(diǎn) m的虛位移為 δr， 力 F在虛位移上所作的虛功為 δW = F 試分析虛功 。 δrB 121 虛位移與虛功 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 17 ???????niiiniiW110rNN ??M N δr 四 、 理想約束 在質(zhì)點(diǎn)系的任何虛位移中 ， 如果約束反力所作的虛功之和等于零 ， 這種約束稱(chēng)為理想約束 。δr = 0 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 19 光滑鉸鏈連接 純滾動(dòng)剛體的固定面約束 N N39。 011??? ????niiiniiFW rF ??0)(1?????niiiiiii zZyYxX ???? 矢量式 ? 解析式 虛功原理 虛功方程 靜力學(xué)普遍方程 122 虛位移原理 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 22 011???? ????niiiniii rNrF ??????niii10rF ?Fi 主動(dòng)力的合力 Ni 約束反力的合力 則 Fi + Ni = 0 (i = 1, 2 , … , n) ∴ ? WFi+?WNi = (Fi + Ni ) ?ri=0 011???? ????niiiniiFW rF ??0 虛功原理的證明： 1. 必要性 質(zhì)點(diǎn)系平衡 122 虛位移原理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 ， 第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mi平衡 ， 受力有 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 23 質(zhì)點(diǎn)系平衡 ????niii10rF ?反證法： 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 ， 作用于該質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力在給定的位置的任意虛位移中所作的虛功之和等于零 ，但該質(zhì)點(diǎn)系不平衡 ， 即至少有一個(gè)質(zhì)點(diǎn) Mj不平衡 : Fj+Nj＝ Rj≠0 由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn) Mj實(shí)位移 drj應(yīng)沿著 Rj的方向 該質(zhì)點(diǎn)的合力在實(shí)位移中的元功為 Rjdrj＞ 0 ∵ 質(zhì)點(diǎn)系受定常約束， ∴ drj ∈ ? rj ∴ ∑(Fj+Nj)?ri＞ 0 這與假設(shè)矛盾！ ∴ 質(zhì)點(diǎn)系必然平衡。 在 OA的水平面內(nèi)作用一垂直手柄的力P=160N， 不計(jì)各處摩擦 。 W A o l P B NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 25 例 3 W δrA ?? l 解： 千斤頂受理想約束， 給 P力點(diǎn) A虛位移 ? rA=l?? 相應(yīng)地 W力點(diǎn) B有 ?rB 由虛功方程 ∑?WF =0 Pl?? － W?rB=0 BrPlW?????約束條件為： 手柄旋轉(zhuǎn)一周，頂桿上升一螺距。 求系統(tǒng)在圖示位置平衡時(shí) ， M與 P的關(guān)系 。 － (?＋ θ)]=δrB cosθ M A B x o y ? P 且 δrA= r?? θ 90176。 － (?＋ θ)]=vBcosθ 2 2 2c o ss in 1s inBBOArv rrlr? ??? ? ? ?????? ? ? ??????? s i ns i nc o s1222 ????????????rlrrPMA O Av r r dt?????dtrv BB??A B x o y ? ?rB ?? θ 90176。 由速度投影定理 [vA]AB=[vB]AB 例 4 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 29 討 論： 建立虛位移之間關(guān)系的方法 – 作圖給出機(jī)構(gòu)的微小運(yùn)動(dòng) ， 直接由幾何關(guān)系來(lái)定； – 選一坐標(biāo) (自變量 )， 給出各主動(dòng)力作用點(diǎn)的坐標(biāo)方程 ， 求變分 ， 各變分間的比例即為虛位移間的比例； – “ 虛速度 ” 法 (點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng) 、 平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法 、 速度投影法 、 瞬心法等 )。 (1) 以質(zhì)點(diǎn)作為質(zhì)點(diǎn)系基本單元 質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)、 s個(gè)完整約束組成，則其自由度為 k = 3n－ s 對(duì)平面問(wèn)題，如 Oxy平面內(nèi)， zi≡0，則 k = 2n－ s x y o ? l M 222 lyx ??如單擺， n =1， s =1 ∴ k=2 1－ 1=1 122 虛位移原理 NCEPU 2022/4/13 理論力學(xué) 31 C 二 、 自由
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