線性代數(shù)自學(xué)考試知識(shí)點(diǎn)匯總-在線瀏覽
2024-08-08 22:10本頁面
【正文】 量組A：a1 , a2 ,……, ar 線性無關(guān)，而向量組 a1 , a2 ,……, ar，α線性相關(guān)，則α可由A線性表示，且表示式唯一.定理3：設(shè)向量組， 若A線性相關(guān)，則向量組B也線性相關(guān)；反之，若向量組B線性無關(guān)，則向量組A也線性無關(guān).（即部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān)）.定理4：無關(guān)組的截短組無關(guān)，相關(guān)組的接長組相關(guān).3. 極大無關(guān)組與向量組的秩定義1 如果在向量組 T 中有 r 個(gè)向量 a1 , a2 ,……, ar ，滿足條件： ⑴ 向量組 a1 , a2 ,……, ar 線性無關(guān)，⑵ ，線性相關(guān). 那么稱向量 a1 , a2 ,……, ar 是向量組 T 的一個(gè)極大無關(guān)組. 定義2 向量組的極大無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩.定義3 矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩。 結(jié)論2 如果向量組的秩是r ，那么該向量組的任意 r 個(gè)線性無關(guān)的向量都是它的一個(gè)極大無關(guān)組。② 方程組AX=b有無窮多解的充分必要條件是r n.（2） 方程組AX= b無解的充分必要條件是R(A) ≠R（A，b）.2. 齊次線性方程組有非零解的判定 （1） 齊次方程組AX=0有非零解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩 R(A) 未知量的個(gè)數(shù)n .（2） 含有n個(gè)方程，n個(gè)未知量的齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)行列式等于零.（即|A|=0）（3） 齊次線性方程組AX=0中，若方程的個(gè)數(shù)m未知量的個(gè)數(shù)n，則方程組有非零解 3. 齊次線性方程組解的性質(zhì)（1） 若是Ax=0的解，則也是Ax=0的解；（2） 若是Ax=0的解，則也是Ax=0的解.4. 齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系與通解（1） 解空間 齊次線性方程組Ax=0的全體解向量所組成的集合，是一個(gè)向量空間，稱為方程組 Ax=0的解空間．記作V，即V={ x | Ax=0，x∈R }. （2） 基礎(chǔ)解系齊次方程組AX=0的解空間 V 的一個(gè)基，稱為齊次方程組AX=0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)是nr（A）.方程組AX=0的任意nr個(gè)線性無關(guān)的解都是AX=0的基礎(chǔ)解系.（3）齊次線性方程組的通解為，其中是Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.5. 非齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若是Ax=b的解，則是Ax=0的解；即Ax=b 的任意兩個(gè)解的差必是其導(dǎo)出組Ax=0的解.（2）若是Ax=b的解，是Ax=0的解，則是Ax=b的解.即Ax=b 的任意一個(gè)解和其導(dǎo)出組 Ax=0 的任意一個(gè)解之和仍是 Ax=b 的解.6. 非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組AX=b的通解為其中為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系， 為非齊次線性方程組AX=b的任意一個(gè)解，稱為特解. 方陣的特征值1. 向量的內(nèi)積設(shè)，則x，y的內(nèi)積為.（1）向量x的
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