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自學考試線性代數(shù)[經管類]重點考點-在線瀏覽

2025-05-12 07:29本頁面
  

【正文】 A的行(列)向量組為的一個基 任意n維行(列)向量均可以表示為A的行(列)向量組               的線性組合,且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.(七)線性方程組的消元法.對任一個線性方程組可以表示成矩陣形式,其中為系數(shù)矩陣,為常數(shù)列矩陣,為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對應.對于給定的線性方程組,可利用矩陣的初等行變換,把它的增廣矩陣化成簡化階梯形矩陣,從而得到易于求解的同解線性方程組,然后求出方程組的解.第三章 向量空間(一)n維向量的定義與向量組的線性組合1. n維向量的定義與向量的線性運算由n個數(shù)組成的一個有序數(shù)組稱為一個n維向量,若用一行表示,稱為n維行向量,即矩陣,若用一列表示,稱為n維列向量,即矩陣與矩陣線性運算類似,有向量的線性運算及運算律.2.向量的線性組合設是一組n維向量,是一組常數(shù),則稱為的一個線性組合,常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個向量可以表示成 則稱是的線性組合,或稱可用線性表出.3.矩陣的行、列向量組設A為一個矩陣,若把A按列分塊,可得一個m維列向量組稱之為A的列向量組. 若把A按行分塊,可得一個n維行向量組稱之為A的行向量組.4.線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解,且每一個解就是一個組合系數(shù).  例1 問能否表示成,的線性組合?  解:設線性方程組為 對方程組的增廣矩陣作初等行變換:則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合,且(二)向量組的線性相關與線性無關1. 線性相關性概念設是m個n維向量,如果存在m個不全為零的數(shù),使得,則稱向量組線性相關,稱向量線性無關.由定義可知,線性無關就是指向量等式當且僅當時成立.特別 單個向量線性相關; 單個向量線性無關2.求相關系數(shù)的方法設為m個n維列向量,則線性相關m元齊次線性方程組有非零解,且每一個非零解就是一個相關系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設向量組,試討論其線性相關性.  解:考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是,秩,所以向量組線性相關,與方程組同解的方程組為令,得一個非零解為則3.線性相關性的若干基本定理定理1 .定理2 如果向量組線性無關,又線性相關,則可以用線性表出,且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關,則整體組也必相關,或者整體無關,部分必無關.定理4 無關組的接長向量組必無關.(三)向量組的極大無關組和向量組的秩  1.向量組等價的概念若向量組S可以由向量組R線性表出,向量組R也可以由向量組S線性表出,則稱這兩個向量組等價.  2.向量組的極大無關組設T為一個向量組,若存在T的一個部分組S,它是線性無關的,且T中任一個向量都能由S線性表示,則稱部分向量組S為T的一個極大無關組.顯然,線性無關向量組的極大無關組就是其本身.對于線性相關的向量組,一般地,它的極大無關組不是唯一的,但有以下性質:定理1 向量組T與它的任一個極大無關組等價,因而T的任意兩個極大無關組等價.定理2 向量組T的任意兩個極大無關組所含向量的個數(shù)相同.  3.向量組的秩與矩陣的秩的關系把向量組T的任意一個極大無關組中的所含向量的個數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩,稱為A的行秩,把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理:對任一個矩陣A,A的列秩=A的行秩=秩(A)此定理說明,對于給定的向量組,可以按照列構造一個矩陣A,然后用矩
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