【正文】 例 2 設(shè)????????????????112202213A，求 A 的相似標(biāo)準(zhǔn)形 解 ： A 的特征方程為0)1(112222132????????? ?????? AE 則1,0 321 ??? ???為 A 的特征值 . 可求出屬于01 ??的線性無關(guān)特征向量為 T)1,1,1(1 ??， 屬于二重特征值1??的線性無關(guān)特征向量為 TT )1,2,0(,)0,2,1(32 ??? ?? 于是 1 2 3,? ? ?為 A 的三個(gè)特征無關(guān)特征向量， A 可相似對(duì)角化 令?????????????101221011),(321???P為可逆矩陣 . 使得????????????1101APP，為 A 的相 似標(biāo)準(zhǔn)形 （三）向量內(nèi)積和正交矩陣 1 ．向量內(nèi)積的定義和基本性質(zhì) 下面我們?cè)?n 維向量空間 nR 中討論 設(shè)TnTn bbbaaa ),(,),( 2121 ?? ?? ??為兩個(gè) n 維列向量，把實(shí)數(shù)????niTiiba1),( ????，稱為向量?與?的內(nèi)積 向量的內(nèi)積具有對(duì)稱性、 線性性與正定性 . 2 ．向量的長度 n 維列向量Tnaaa ),( 21 ???的長度為實(shí)數(shù)),( ??? ?。第一章 行列式 （一）行列式的定義 行列式是指一個(gè)由若干個(gè)數(shù)排列成同樣的行數(shù)與列數(shù)后所得到的一個(gè)式子，它實(shí)質(zhì)上表示把這些數(shù)按一定的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，其結(jié)果為一個(gè)確定的數(shù) . 1 ．二階行列式 由 4 個(gè)數(shù))2,1,( ?jia ij得到下列式子：11 1221 22aaaa稱為一個(gè)二階行列式，其運(yùn)算規(guī)則為 2112221122211211aaaaaaaa?? 2 ．三階行列 式 由 9 個(gè)數(shù))3,2,1,( ?jia ij得到下列式子：333231232221131211aaaaaaaaa 稱為一個(gè)三階行列式，它如何進(jìn)行運(yùn)算呢？教材上有類似于二階行列式的所謂對(duì)角線法，我們采用遞歸法，為此先要定義行列式中元素的余子式及代數(shù)余子式的概念 . 3 ．余子式及代數(shù)余子式 設(shè)有三階行列式 3332312322211312113aaaaaaaaaD ? 對(duì)任何一個(gè)元素ija，我們劃去它所在的第 i 行及第 j 列，剩下的元素按原先次序組成一個(gè)二階行列式，稱它為元素ija的余子式，記成ijM 例如 3332232211aaaaM ?，3332131221aaaaM ?，2322131231aaaaM ? 再記 ijjiij MA??? )1( ，稱ijA為元素ija的代數(shù)余子式 . 例如 1111 MA ?，2121 MA ??，3131 MA ? 那么 ，三階行列式3D定義為 我們把它稱為3D按第一列的展開式，經(jīng)常簡寫成????????3111131113)1(iiiiiiiMaAaD 3131212111113332312322211312113AaAaAaaaaaaaaaaD ???? 4 ． n 階行列式 一階行列式 11111 aaD ?? n 階行列式 1121211111212222111211nnnnnnnnnAaAaAaaaaaaaaaaD ????? ??????? 其中( , 1 , 2 , , )ijA i j n?為元素ija的代數(shù)余子式 . 5 ．特殊行列式 上三角行列式11 12 122 211 22000nnnnnna a aaaa a aa? 下三角行列式112211 2212000nnn n nnaaaa a aa a a?21 對(duì)角行列式 112211 22000000nnnnaaa a aa? （二）行列式的性質(zhì) 性質(zhì) 1 行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即 TDD ? 性質(zhì) 2 用數(shù) k 乘行列式 D 中某一行（列）的所有 元素所得到的行列式等于 kD ，也就是說，行列式可以按行和列提出公因數(shù) . 性質(zhì) 3 互換行列式的任意兩行（列），行列式的值改變符號(hào) . 推論 1 如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零 . 推論 2 如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零 . 性質(zhì) 4 行列式可以按行（列）拆開 . 性質(zhì) 5 把行列式 D 的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為 D. 定理 1 （行列式展開定理） n 階行列式nijaD ?等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和，即),2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ????? 或),2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ????? 前一式稱為 D 按第 i 行的展開式，后一式稱為 D 按第 j 列的展開式 . 本定理說明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展開來求出它的值 . 定理 2 n 階行列式nijaD ?的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零 . 即)(02211 kiAaAaAa kninkiki ????? ? 或)(02211 sjAaAaAa nsnjsjsj ????? ? （三）行列式的計(jì)算 行列式的計(jì)算主要采用以下兩種基本方法： （ 1 ）利用行列式性質(zhì)，把原行列式化為上三角（或下三角）行列式再求值，此時(shí)要注意的是，在互換兩行或兩列時(shí)，必須在新的行列式的前面乘上 （－ 1 ），在按行或按列提取公因子 k 時(shí)，必須在新的行列式前面乘上 k. （ 2 ）把原行列式按選定的某一行或某一列展開，把行列式的階數(shù)降低，再求出它的值，通常是利用性質(zhì)在某一行或某一列中產(chǎn)生很多個(gè)“ 0 ”元素，再按這一行或這一列展開： 例 1 計(jì)算行列式 52072325121314124??D 解： 觀察到第二列第四行的元素為 0 ，而且第二列第一行的元素是112 ?a，利用這個(gè)元素可以把這一列其它兩個(gè)非零元素化為 0 ，然后按第二列展開 . 42 1 4 1 2 1 4 15 6 23 1 2 1 2 1 1 5 0 6 21 5 05 2 3 2 1 0 5 03 ( 2) 17 2 50 2 5 7 0 2 55 3 1 231 22 5 1 1 0 0 8137 57 37 5D? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?行 行按 第 二 列 展 開行 行7　 　 列 列 按 第 二 行 展 開 例 2 計(jì)算行列式 abbbbabbbbabbbbaD ?4 解 ： 方法 1 這個(gè)行列式的元素含有文字，在計(jì)算它的值時(shí)，切忌用文字作字母，因?yàn)槲淖挚赡苋?0值 . 要注意觀察其特點(diǎn)，這個(gè)行列式的特點(diǎn)是它的每一行元素之和均為ba 3?（我們把它稱為行和相同行列式），我們可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子ba 3?，再將后三行都減去第一行： 3131( 3 )313110 0 0( 3 )0 0 00 0 0a b b b a b b b b b b bb a b b a b a b b a b babb b a b a b b a b b a bb b b a a b b b a b b ab b babababab??? ? ????????　 　 　 　 　 3))(3( baba ??? 方法 2 觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè) b ，我們采用“加邊法”來計(jì)算，即是構(gòu)造一個(gè)與4D 有相同值的五階行列式： 1 1 2 3 4 54110 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 00 1 0 0 0b b b b b b b ba b b ba b b b a bb a b bD b a b b a bb b a bb b a b a bb b b ab b b a a b? ? ???? ? ? ? ?????行 （ ） ， ， ， 行 這樣得到一個(gè)“箭形”行列式，如果ba ?，則原行列式的值為零，故不妨假設(shè)ba ?，即0?? ba，把后四列的ba ?1倍加到第一列上，可以把第一列的（－ 1 ）化為零 . 4410 0 0 040 0 0 0 1 ( ) ( 3 ) ( )0 0 0 00 0 0 0bb b b bababba b a b a b a bababab??????? ? ? ? ? ? ? ???????? 例 3 三 階 范德蒙德 行列式 ))()((1112313122322213213xxxxxxxxxxxxV ????? （四）克拉默法則 定理 1 （克拉默法則）設(shè)含有 n 個(gè)方程的 n 元線性方程組為 11 1 12 2 1 121 1 22 2 2 21 1 2 2,nnnnn n nn n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? 如果其系數(shù)行列式0??nijaD，則方程組必有唯一解：njDDxjj,2,1, ??? 其中jD是把 D 中第 j 列換成常數(shù)項(xiàng)nbbb , 21 ?后得到的行列式 . 把這個(gè)法則應(yīng)用于齊次線性方程組，則有 定理 2 設(shè)有含 n 個(gè)方程的 n 元齊次線性方程組 11 1 12 2 121 1 22 2 21 1 2 20,0,0nnnnn n nn na x a x a xa x a x a xa x a x a x? ? ? ???? ? ? ?????? ? ? ?? 如果其系數(shù)行列式0?D，則該方程組只有零解：021 ???? nxxx ? 換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有0?D，在教材第二章中，將要證明， n 個(gè)方程的 n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零 . 例 4 當(dāng)?取何值時(shí)，齊次線性方程組?????????????????0)1(0)3(2042)1(321321321xxxxxxxxx???只有零解？ 解： 方程組的系數(shù)行列式 1 2 4 1 3 42 3 1 2 1 2 1 11 1 1 1 0 13 4 1 3( 1 )1 1 2 1D? ? ?????? ? ????? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????列 列　 　按 第 三 行 展 開 32 56?