自學(xué)考試線性代數(shù)[經(jīng)管類]考點(diǎn)]-在線瀏覽
2025-05-12 07:29本頁(yè)面
【正文】 任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組 的線性組合，且表示法唯一. A的特征值均不為零 為正定矩陣.（七）線性方程組的消元法.對(duì)任一個(gè)線性方程組可以表示成矩陣形式，其中為系數(shù)矩陣，為常數(shù)列矩陣，為未知元列矩陣.從而線性方程組與增廣矩陣一一對(duì)應(yīng).對(duì)于給定的線性方程組，可利用矩陣的初等行變換，把它的增廣矩陣化成簡(jiǎn)化階梯形矩陣，從而得到易于求解的同解線性方程組，然后求出方程組的解.第三章 向量空間（一）n維向量的定義與向量組的線性組合1． n維向量的定義與向量的線性運(yùn)算由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n維向量，若用一行表示，稱為n維行向量，即矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即矩陣與矩陣線性運(yùn)算類似，有向量的線性運(yùn)算及運(yùn)算律.2．向量的線性組合設(shè)是一組n維向量，是一組常數(shù)，則稱為的一個(gè)線性組合，常數(shù)稱為組合系數(shù).若一個(gè)向量可以表示成 則稱是的線性組合，或稱可用線性表出.3．矩陣的行、列向量組設(shè)A為一個(gè)矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組. 若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.4．線性表示的判斷及表出系數(shù)的求法.向量能用線性表出的充要條件是線性方程組有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù). 例1 問(wèn)能否表示成，的線性組合？ 解：設(shè)線性方程組為 對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換：則方程組有唯一解所以可以唯一地表示成的線性組合，且（二）向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)1． 線性相關(guān)性概念設(shè)是m個(gè)n維向量，如果存在m個(gè)不全為零的數(shù)，使得，則稱向量組線性相關(guān)，稱向量線性無(wú)關(guān).由定義可知，線性無(wú)關(guān)就是指向量等式當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立.特別 單個(gè)向量線性相關(guān)； 單個(gè)向量線性無(wú)關(guān)2．求相關(guān)系數(shù)的方法設(shè)為m個(gè)n維列向量，則線性相關(guān)m元齊次線性方程組有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩陣的秩小于m例2 設(shè)向量組，試討論其線性相關(guān)性. 解：考慮方程組其系數(shù)矩陣 于是，秩，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組為令，得一個(gè)非零解為則3．線性相關(guān)性的若干基本定理定理1 .定理2 如果向量組線性無(wú)關(guān)，又線性相關(guān)，則可以用線性表出，且表示法是唯一的.定理3 若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無(wú)關(guān)，部分必?zé)o關(guān).定理4 無(wú)關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必?zé)o關(guān).（三）向量組的極大無(wú)關(guān)組和向量組的秩 1．向量組等價(jià)的概念若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià). 2．向量組的極大無(wú)關(guān)組設(shè)T為一個(gè)向量組，若存在T的一個(gè)部分組S，它是線性無(wú)關(guān)的，且T中任一個(gè)向量都能由S線性表示，則稱部分向量組S為T的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.顯然，線性無(wú)關(guān)向量組的極大無(wú)關(guān)組就是其本身.對(duì)于線性相關(guān)的向量組，一般地，它的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，但有以下性質(zhì)：定理1 向量組T與它的任一個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià)，因而T的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組等價(jià).定理2 向量組T的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同. 3．向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系把向量組T的任意一個(gè)極大無(wú)關(guān)組中的所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組T的秩.把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對(duì)任一個(gè)矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說(shuō)明，對(duì)于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個(gè)矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來(lái)求出向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組.例3 求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并將其余向量用極大無(wú)關(guān)組線性表出： 解：把所有的行向量都轉(zhuǎn)置成列向量，構(gòu)造一個(gè)矩陣，再用初等行變換把它化成
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