【正文】 24) (25) 如果當(dāng)n0時，有h(n)=0，這樣的濾波器系統(tǒng)稱之為因果系統(tǒng)。如果h(n)滿足如下條件: (27)則稱此濾波器是因果的，并且是穩(wěn)定的。在不考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法是等效的；但在考慮量化影響時，這些不同的實現(xiàn)方法性能上就有差異。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實現(xiàn)，因而有時也稱之為遞歸濾波器。數(shù)字濾波器的設(shè)計方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計法等等。數(shù)字濾波器設(shè)計的基本步驟如下：在設(shè)計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。因此，指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。第一種是絕對指標(biāo)。第二種指標(biāo)是相對指標(biāo)。在工程實際中，這種指標(biāo)最受歡迎。運用線性相位響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行濾波器設(shè)計具有如下優(yōu)點：①只包含實數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運算；②不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；③長度為N的濾波器(階數(shù)為N1)，計算量為N/2數(shù)量級。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。數(shù)字濾波器的實現(xiàn)，大體上有如下幾種方法：(1) 在通用的微型機(jī)上用軟件來實現(xiàn)。自IEEE DSP ，國外的研究機(jī)構(gòu)、公司也陸續(xù)推出不同語言不同用途的信號處理軟件包。(2) 用單片機(jī)來實現(xiàn)。(3) 利用專門用于信號處理的DSP片來實現(xiàn)。 自適應(yīng)濾波器基本理論所謂的自適應(yīng)濾波，就是利用前一時刻以獲得的濾波器參數(shù)的結(jié)果，自動的調(diào)節(jié)現(xiàn)時刻的濾波器參數(shù)，以適應(yīng)信號和噪聲未知的或隨時間變化的統(tǒng)計特性，從而實現(xiàn)最優(yōu)濾波。自適應(yīng)濾波器不需要關(guān)于輸入信號的先驗知識，計算量小，特別適用于實時處理。在這種情況下，必須設(shè)計自適應(yīng)濾波器，以跟蹤信號和噪聲的變化。一般而言，自適應(yīng)濾波器由兩部分組成，一是濾波器結(jié)構(gòu)，二是調(diào)整濾波器系數(shù)的自適應(yīng)算法。自適應(yīng)算法則用來控制數(shù)字濾波器參數(shù)的變化。 自適應(yīng)濾波器的一般形式自適應(yīng)濾波器的特性變化是由自適應(yīng)算法通過調(diào)整可編程濾波器系數(shù)來實現(xiàn)的?？删幊虨V波器即參數(shù)可調(diào)的濾波器，自適應(yīng)算法對其參數(shù)進(jìn)行控制以實現(xiàn)最佳濾波工作。其中輸入信號x(n)通過可編程濾波器后產(chǎn)生輸出信號(或響應(yīng))y(n)，將其與標(biāo)準(zhǔn)信號d(n)進(jìn)行比較，形成誤差信號e(n)，并以此通過某種自適應(yīng)算法對濾波器參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，最終使得e(n)的均方值最小。由十線性自適應(yīng)濾波器和相應(yīng)的算法具有結(jié)構(gòu)簡單、計算復(fù)雜性低的優(yōu)點，分析和實現(xiàn)容易，而廣泛應(yīng)用十自適應(yīng)信號處理系統(tǒng)中。但由十非線性自適應(yīng)濾波器的計算較復(fù)雜，硬件實現(xiàn)比較困難，實際用得最多的仍然是線性自適應(yīng)濾波器。盡管IIR結(jié)構(gòu)的濾波器能夠以很小的復(fù)雜度來實現(xiàn)和FIR濾波器相同的功能，但I(xiàn)IR型濾波器在自適應(yīng)處理過程中，極點移出單位圓之外時，就會使濾波器產(chǎn)生不穩(wěn)定。通常一個穩(wěn)定的IIR濾波器總是可以用足夠多階的FIR濾波器來近似代替，用FIR型結(jié)構(gòu)作為自適應(yīng)濾波器的結(jié)構(gòu)具有廣泛的應(yīng)用空間。其中橫截型結(jié)構(gòu)是大多數(shù)應(yīng)用情況下所采用的最主要的自適應(yīng)濾波器結(jié)構(gòu)，它可應(yīng)用所有FIR濾波器，具有形式簡單，易十實現(xiàn)等特點，并可以用流水線提高性能。格型結(jié)構(gòu)具有收斂速度快，穩(wěn)定性好，對系數(shù)量化精度要求不高的特點，但計算量大，不容易實時實現(xiàn)，只能部分實現(xiàn)流水線。同時，結(jié)構(gòu)的選取不僅會影響到計算復(fù)雜度(即每次迭代的算術(shù)操作數(shù))，還會對達(dá)到期望性能標(biāo)準(zhǔn)所需的迭代次數(shù)(自適應(yīng)收斂的時間)產(chǎn)生影響。自適應(yīng)濾波器根據(jù)其沖擊響應(yīng)的形式一般分為有限沖擊響應(yīng)自適應(yīng)濾波器(FIR )、自適應(yīng)格型濾波器和無限沖擊響應(yīng)自適應(yīng)濾波器（IIR)三種結(jié)構(gòu)。利用抽頭延遲線做成的橫向濾波結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)濾波器，通稱為自適應(yīng)橫向濾波器(或自適應(yīng)FIR濾波器)。 自適應(yīng)濾波器，為可調(diào)節(jié)抽頭權(quán)系數(shù)表示在n時刻的系數(shù)值。權(quán)系數(shù)的調(diào)節(jié)過程是首先自動調(diào)節(jié)濾波器系數(shù)的自適應(yīng)訓(xùn)練步驟，然后利用濾波系數(shù)加權(quán)延遲抽頭上的信號來產(chǎn)生輸出信號，將輸出信號與期望信號進(jìn)行對比，所得的誤差值通過一定的自適應(yīng)控制算法再用來調(diào)整權(quán)值，以保證濾波器處在最佳狀態(tài)，其抽頭加權(quán)系數(shù)集正好等于它的沖激響應(yīng)，達(dá)到實現(xiàn)濾波的目的。為了說明最小二乘法的基本思想，假定有一組實數(shù)，它們分別取自時刻?，F(xiàn)用表示這條曲線與時間的函數(shù)關(guān)系。最小二乘法可以看成維納濾波理論的另一種表示方法。另一方面，最小二乘法是確定性的。在計算過程中，最小二乘法是一種批處理方法，因為最小二乘濾波器用來處理一批數(shù)據(jù)。遞歸最小二乘估計算法是以最小誤差平方和為優(yōu)化目標(biāo)，它是在在最小二乘基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來的。 正則方程。該代價函數(shù)定義為 (34)其中和定義了取值范圍，我們在這一范圍使誤差最小化，式中的和也可以看成誤差能量。最小化結(jié)果得到的濾波器叫做線性最小二乘濾波器。橫向濾波器模型所用的抽頭權(quán)值共有M個，由輸入數(shù)構(gòu)成的矩陣可以有不同的形式。協(xié)方差法這種方法對時間段[1,N]之外的數(shù)據(jù)不做假設(shè)。從式（310）容易看出，式（311）表示的條件等效于下列方程組 (312)式（312）為正交性原理的瞬時描述。正交性原理建立了一組抽頭輸入與最小誤差之間的關(guān)系。這可解釋如下：1. 式（314）左邊的時間平均（對i）表示線性橫向濾波器中抽頭輸入的時間平均自相關(guān)函數(shù)，可以寫為 (315)2. 式（314）右邊的時間平均（對i）表示抽頭輸入與期望響應(yīng)之間的時間平均互相關(guān)函數(shù)，可以寫成 (316)相應(yīng)地，可將瞬時方程組（314）改寫成 (317)方程組（317）是線性最小二乘濾波正則方程的展開式。首先引入定義：1) 輸入的時間平均自相關(guān)矩陣為 (318)2) 抽頭輸入與期望之間的時間平均互相關(guān)向量為 (319)3) 最小二乘濾波器的抽頭向量為 (320)按照這些矩陣定義，將M個聯(lián)立方程組（314）簡單地改寫為 (321)式（321）是線性最小二乘濾波器的正則方程的矩陣形式。式（322）表明線性最小二乘濾波器的抽頭權(quán)向量由濾波器抽頭輸入的時間平均相關(guān)矩陣的逆矩陣與抽頭輸入和期望響應(yīng)之間時間平均互相關(guān)向量Z的乘積唯一確定。于是可以寫出 (323)即 (324)其中是時刻的抽頭輸入向量，定義為 (325)式中是時刻的抽頭權(quán)值響應(yīng)，定義為 (326)式（323）的加權(quán)因子滿足關(guān)系0≤λ≤1。最小二乘法是一個病態(tài)求逆過程。最小二乘的病態(tài)特性源于一下原因：1． 輸入數(shù)據(jù)中的信息不足以唯一地構(gòu)建輸入輸出之間的映射關(guān)系。為使估計問題變?yōu)榉遣B(tài)，需要某種與輸入輸出有關(guān)的先驗信息。為了滿足這一要求，我們代價函數(shù)擴(kuò)展為兩部分之和 (327)（假設(shè)使用了預(yù)加窗。這個分量反映出期望響應(yīng)與濾波器實際響應(yīng)之間的指數(shù)加權(quán)誤差，且與抽頭輸入向量之間的關(guān)系可用公式表示為 (329)2) 正則化項 (330)式中是一個正實數(shù)，稱為正則化參數(shù)。將式（327）展開并進(jìn)行整理，我們發(fā)現(xiàn)，在代價函數(shù)中增加正則化項，相當(dāng)于將抽頭輸入向量的時間平均相關(guān)矩陣表示為 (331)式中是 單位矩。將式（331）修正為相關(guān)矩陣的過程叫對角加載。遞歸最小二乘問題的正則方程可用矩陣形式寫為 (333) 遞歸計算將對應(yīng)于的項與式（331）右邊的求和項分開，可寫出 (334)根據(jù)定義，式（334）右括號內(nèi)的表達(dá)式等于相關(guān)矩陣。式（335）的遞歸過程與初始條件無關(guān)。然而在實際中，我們通常盡量避免這樣做，因為這種運算非常耗時，特別是當(dāng)抽頭數(shù)很大時。設(shè)和是兩個正定矩，他們之間的關(guān)系為 (337)其中，是正定矩，是矩陣。我們對式（335）所表示的遞歸方程應(yīng)用矩陣求逆引理，首先做如下設(shè)定 (339)然后將這些定義代入求逆引理，可得計算相關(guān)矩陣的遞歸方程如下 (340)為了方便計算，令 (341)和 (342)用上面的定義，可將式（340）改寫為 (343)矩陣叫做逆相關(guān)矩陣，向量叫做增益向量。整理式（342），可得 （344）即 (345)從式（343）可以看出，式（345）右邊最后一行括號里的表達(dá)式等于。 抽頭向量的時間更新下面導(dǎo)出更新抽頭權(quán)向量最小二乘估計的遞歸公式。內(nèi)積表示基于時刻抽頭權(quán)向量最小二乘估計舊值得期望響應(yīng)的估值。對于非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)處理，最合適的方法是采用最小二乘自適應(yīng)濾波器。RLS算法的優(yōu)點是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻譜特性無關(guān)，但其缺點是計算復(fù)雜度很高，對于N階的濾波器， RLS算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子λ。粗略的說，的倒數(shù)可以用來衡量算法的記憶能力；而的特殊情況，則對應(yīng)于無限記憶。由于設(shè)計簡單、性能最佳，其中RLS濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡單，收斂性能良好。它將數(shù)值分析、矩陣計算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進(jìn)水平。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計算方面首屈一指。本節(jié)中我們利用MATLAB仿真軟件，仿真系統(tǒng)框圖如下圖所示。以下為相關(guān)程序：clear。randn(39。, 0) 。seed39。 N=1000。 k=12。 x=(zeros(1,N))。x(1,i)=xr(1,i)+b(i)。p=(1/Delta)*eye(n)。 w=zeros(N,n)。 y=zeros(1,N)。./(1+x(in+1:i)*p*x(in+1:i)39。 e(1,i)=xr(i)w(i1,:)*x(in+1:i)39。 p=pK(i,:)39。 y(1,i)=w(i,:)*x(in+1:i)39。plot(0:Nn,xr(1,n:N),39。)ylabel(39。)。時間39。title(39。) grid onsubplot(2,1,2)。grid。幅值39。xlabel(39。)。原始輸入信號xr頻域圖39。figure(2) subplot(2,1,1)。濾波器輸入信號x時域圖39。幅值39。xlabel(39。)。plot(abs(fft(x)))。ylabel(39。)。時間39。title(39。)。hold on plot(0:Nn,y(1,n:N),39。)。title(39。) 。e(k)39。y(k)39。plot(abs(fft(e)))。幅值39。xlabel(39。)。ylabel(39。)。時間39。title(39。)。plot(abs(fft(y)))。ylabel(39。)。時間39。title(39。)。 原始輸入信號時域及頻域圖 濾波器輸入信號時域及頻域圖 誤差信號及輸出信號時域圖 濾波器輸誤差信號和輸出信號頻域圖，為單一頻率正弦波，幅值為1，得到濾波器輸入信號，從頻譜圖可以看出，包含原始信號有很多頻率?？梢钥闯稣`差信號較小。由上可知，濾波效果較好。