【正文】 復原 ： 消除或減少在獲取圖像過程中所產生的某些退化，盡量反映原始圖像的真實面貌。通常用于將分割的對象從背景中分離出來。一個實用的圖像處理系統(tǒng)往往需要結合應用幾種圖像處理技術才能得到所需要的結果。 如圖 粗略說明數(shù)字圖像處理的主要內容及步驟 圖 數(shù)字圖像處理方法大致可分為兩大類，空域法和變換域法 : 空域算法是指在空間域內直接對數(shù)字圖像進行處理，在處理時，即可以直接對圖像中象素點進行灰度上的變換處理，也可以對圖像進行小區(qū)域模板的空域濾波處理，以充分考慮象素鄰域內的象素點對其的影響 .變換域處理方法主要是通過傅立葉變換、離散余弦變換、沃爾什變換或是比較新 的小波變換等變換算法，將圖像從空域信號變換到相應的變換域信號 .然后在變換域中對信號進行處理 .處理完后再將信號從變換域反變換到空間域。 第三章 小波變換的基本理論 從傅立葉變換到小波變換 傅里葉變換 在信號處理中重要方法之 — 是傅立葉變換，它架起了時間域和頻率域之間的橋梁。因為它能給出信號令包含的各種頻率成分。而很多信號都包含有人們感興趣的非穩(wěn)態(tài) (或者瞬變 )持性，如漂移、趨勢項、突然變化以及信號的升始或結束。因此傅里葉變換不適于分析處理這類信號。這是因為信號的時域波形中不包含任何頻域信息。這樣在信號分析中就面臨一對最基本的矛盾：時域和頻域的局部化矛盾。這就促使去尋找一種新方法，能夠將時域和頻域結合起來描述觀察信號的時頻聯(lián)合特征，構成信號的時頻譜。 短時傅里葉變換 由于標準傅立葉變換只在頻域里有局部分析的能力，而在時域里不存在這種能力， Dennis Gabor 于 1946 年引入了短時傅立葉變換。其表達式為 dtegtfStjR????? ??? ? )()(),( * () 其中 *表示復共軛， g(t)是有緊支集的函數(shù)， f(t)是進入分析的信號。隨著時間 ? 的變化， g(t)所確定的“時間窗”在 t軸上移動，是 f（ t）“逐漸”進行分析。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在 ],[ ???? ?? 、 ],[ ???? ?? 這一區(qū)域內的狀態(tài)，并把這一區(qū)域 稱為窗口， ? 和 ? 分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高?？梢哉f短時 傅立葉變換實質上是具有單一分辨率的分析，若要改變分辨率，則必須重新選擇窗函數(shù) g(t)。而短時傅立葉變換不能兼顧兩者。 小波變換用的不是時間 頻率域，而是時間 尺度域。 連續(xù)小波變換 一維連續(xù)小波變換 定義：設 )()( 2 RLt ?? ，其傅立葉變換為 )(??? ，當 )(??? 滿足允許條件（完全重構條件或恒等分辨條件） ?? R dC ????? 2)(? ? () 時，我們稱 )(t? 為一個基本小波或母小波。, ?? aRba () 稱其為一個小波序列。對于任意的函數(shù) )()( 2 RLtf ?的連續(xù)小波變換為 dta bttfafbaWRbaf)()(,),( 2/1, ????? ?? ?? () 其重構公式（逆變換）為 ? ???? ??? ?? dadba btbaWaCtf f )(),(11)( 2 ?? () 由于基小波 )(t? 生成的小波 )(, tba? 在小波變換中對被分析的信號起著觀測窗的作用，所以 )(t? 還應該滿足一般函數(shù)的約束條件 ???? dtt)(?〈 ? () 故 )(??? 是一個連續(xù)函數(shù)。 定義（對偶小波） 若小波 )(t? 滿足穩(wěn)定性條件（ ）式，則定義一個對偶小波 )(~t? ， 共 47 頁 第 8 頁 其傅立葉變換 )(?~?? 由下式給出： ????? ?? j j 2)2()(*)(?~???????? () 注意，穩(wěn)定性條件（ ）式實際上是對（ ）式分母的約束條件，它的作用是保證對偶小波的傅立葉變換存在的穩(wěn)定性。因此，尋找具有唯一對偶小波的合適小波也就成為小波分析中最基本的問題。 （ 5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度。也就是說，信號 f（ t）的小波變換與小波重構不存在一一對應關系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對應的。 小波變換在不同的（ a， b）之間的相關性增加了分析和解釋小波變換結果的困難，因此，小波變換的冗余度應盡可能減小，它是小波分析 中的主要問題之一。 fCdbbaWbaWada gfn ???? ? ?),(),(0 1 () 這里， ),( baWf =〈 ba,? 〉， )()( 2/,a btat nba ?? ? ??，其中 0, ?? ? aRa 且 nRb? ，公式（ ）也可以寫為 ? ?? ??? 0 ,11 ),( dbbaWadaCf baR fn n ?? () 如果選擇的小波 ? 不是球對稱的，但可以用旋轉進行同樣的擴展與平移。 離散小波變換 在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。需要強調指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù) a和連續(xù)平移參數(shù) b的，而不是針對時間變量 t的。在連續(xù)小波中，考慮函數(shù)： )()( 2/1, a btatba ?? ? ?? 這里 Rb? ， ??Ra ，且 0?a ， ? 是容許的，為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值，這樣相容性條件就變?yōu)? ??? ?? ????? dC 0 )(? () 通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù) a和平移參數(shù) b的離散公式分別取作000 , bkabaa jj ?? ，這里 Zj? ，擴展步長 10?a 是固定值，為方便起見，總是假定 10?a（由于 m可取正也可取負，所以這個假定無關緊要）。然而，怎樣選擇 0a 和 0b ，才能夠保證重構信號的精度呢？顯然，網(wǎng)格點應盡可能密（即 0a 和 0b 盡可能小），因為如果網(wǎng)格點越稀疏，使用 的小波函數(shù) )(, tkj? 和離散小波系數(shù) kjC, 就越少，信號重構的精確度也就會越低。大多數(shù)情況下是將尺度因子和位移參數(shù)按 2的冪次進行離散。對任一信號，離散小波變換第一步運算是將信號分為低頻部分〔稱為近似部分 )和離散部分 (稱為 細節(jié)部分 )。第二步對低頻部分再進行相似運算。依次進行到所需要的尺度。 小波包分析 短時傅立葉變換對信號的頻帶劃分是線性等間隔的。小波包分析能夠為信號提供一種更精細的分析方 法，它將頻帶進行多層次劃分，對多分辨率分析沒有細分的高頻部分進一步分解，并能夠根據(jù)被分析信號的特征，自適應地選擇相應頻帶，使之與信號頻譜相匹配，從而提高了時 頻分辨率，因此小波包具有更廣泛的應用價值。分解具有關系 ： S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。其中， jW 為小波函數(shù))(t? 的閉包（小波子空間）。 一種自然的做法是將尺度空間 jV 和小波子空間 jW 用一個新的子空間 njU 統(tǒng)一起來表征，若令 jjjjWUVU???????10 Zj? 則 Hilbert 空間的正交分解 jjj WVV ???1 即 可用 njU 的分解統(tǒng)一為 100 1 jjj UUU ??? Zj? () 定義子空間 njU 是函數(shù)是函數(shù) )(tUn 的閉包空間，而 )(tUn 是函數(shù) )(2 tUn 的閉包空間，并令 )(tUn 滿足下面的雙尺度方程： ??????????????ZknnZknnktukgtuktukhtu)2()(2)()2()(2)(122 () 式中， )1()1()( khkg k ??? ，即兩系數(shù)也具有正交關系。式（ ）是式（ ）的等價表示。當 n=0 時，即為（ ）式的情況。 小波包的性質 定理 1 設非負整數(shù) n 的二進制表示為 ?????112iiin ? ， i? =0 或 1 則小波包 )(wun? 的傅立葉變換由下式給出： ???? ?1 )2/()( ijn wmwui? () 式中： ?????????kjk wekhwHwm )(21)()(0 ????? ??? k jk wekgwGwm )(21)()(1 定理 2 設 ? ? Znn tu ?)( 是正交尺度函數(shù) )(t? 的正交小波包，則 klnn ltuktu ?????? )(),( ，即 ? ? Znn tu ?)( 構成 )(2RL 的規(guī)范正交基。現(xiàn)在令 n=1，2，?； j=1， 2，?，并對（ ）式作迭代分解，則有 7 26 25 25 24 22 13 12 11, ?????? ?? ???????jjjjjjjjjj UUUUUU UUUW 因此，我們很容易得到小波子空間 jW 的各種分解如下： 726252423121????????????jjjjjjjjUUUUWUUW ? ??? ??? 122 kk kjkjj UUW ? 11 22 ?? ?? ?? kk kjkj UU ? ??? ?12020 jj UUW j ? ? 120 1??jU jW 空間分解的子空間序列可寫作 mjlU??21 ， m=0， 1，?， l2 1； l=1， 2，?。容易看出，當 l=0 和 m=0時， 共 47 頁 第 13 頁 子 空 間 序 列 mjlU??21 簡化為 1jU = jW ， 相 應 的 正 交 基 簡 化 為)2(2)2(2 2/12/ ktktu jjjj ??? ???? ?，它恰好是標準正交小波族 ? ?)(, tkj? 。我們把 )(, tnkj? 稱為既有尺度指標 j、位置指標 k 和頻率指標 n 的小波包。正是這個頻率新參數(shù)的作用，使得小波包克服了小波時間分辨率高時頻率分辨率低的缺陷，于是，參數(shù) n表示 )2(2)(22/ tut lmln l ???函數(shù)的零交叉數(shù)目， 也就是其波形的震 蕩次數(shù)。 推論 對于每個 j=0， 1， 2，? jZj WRL ???)(2=? ????? ? 302020 UUWW ? () 這時，族 { )(, ktuu nkj ? |j=?， 1， 0； n=2， 3，?且 Zk? } () 是 )(2RL 的一個正交基。而小波包卻具有將隨 j 增大而變寬的頻譜窗口進一步分割變細的優(yōu)良性質，從而克服了正交小波變換的不足。 小波包算法 下面給出小波包的分解算法和重構算法。通常，在實際應用中，我們的系統(tǒng)獲取的原始圖像不是完美的，例如對于系統(tǒng)獲取的原始圖像，由于噪聲、光照等原因，圖像的質量不高，所以需要做的工作就是對視 頻圖像進行相關預處理，圖像的預處理不但能有效地消除噪聲，改善圖像質量，使圖像清晰化，還對后續(xù)處理工作比如目標識別的正確性，目標跟蹤的及時性提供了一定的保證。我們這里所用到的圖像預處理技術主要包括灰度變換、圖像增強、平滑濾波、銳化等處理技術。 基于小波變換的圖像平滑 小波變換作為一種有效的時間 —— 頻率分析方法，近年來受到廣泛的注，其應用已遍及信號和圖像分析處理的多個研究領域。小波變換為信號和圖像的表示提供了一種多分辨率 (多尺度 ) 的方法，它能夠同時給出信號和圖像的時 (空 ) 域和頻域的信息。另一方面 , 理論和實驗證明，白噪聲小波變換的性態(tài)與信號的奇異性態(tài)相比具有顯 著不同的特點，充分利用這些特點，在小波變換域中能十分有效地進行圖像邊緣的檢測和定位，十分有效地把信號和噪聲區(qū)別開來。下面就小波變換應用于圖像噪聲平滑問題進行分析和討論。 subplot(131)。 colormap(map)。原始圖像 39。 axis square init=2788605826。seed39。 x=X+18*(rand(size(X)))。 imshow(x,map)。含噪圖象 39。 axis square [c,s]=wavedec2(x,2,39。)。h39。 v2=detcoef2(39。,c,s,2)。d39。 for i=2:1:42 for j=2:1:42 temp=0。 end end temp=temp/9。 end end 共 47 頁 第 16 頁 for i=2:1:42 for j=2:1:42 temp=0。 end end temp=temp/9。 end end