【正文】 要比均值濾波器的差些。不過，他們在平滑圖像的同時亦會使圖像輪廓變得模糊，它們的噪音平滑效果與窗口的寬度有關，窗口寬度越寬，噪音平滑效果越好，但圖像就越模糊，這個矛盾難于解決，也是均值濾波和中值濾波的缺點。但在實際的情況中，有用信號和干擾信號的頻譜往往是重疊的，因為無論是高斯白噪聲還是脈沖干擾，它們的頻譜幾乎都是分布在整個頻域。這是用低通濾波器對圖像進行平滑難于解決的矛盾。在使用時，必須權衡得失，在兩者中選擇其一。這兩類消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細節(jié)信息，造成圖像模糊[9]。小波分析由于在時域頻域同時具有良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點，能有效地把信號和噪聲區(qū)別開來，因此不僅能滿足各種去噪要求如低通、高通、陷波、隨機噪音的去除等，而且與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無可比擬的優(yōu)點，成為信號分析的一個強有力的工具，被譽為分析信號的數(shù)學顯微鏡。現(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學、應用科學、社會科學等領域。 小波去噪的發(fā)展歷程1992年，Donoho和oJhnostne提出了小波閾值收縮方法(Wavelet Shrinkage)，同時還給出了小波收縮閾值，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值的上限[11]。而在實際應用中噪聲大小是無法預先知道的，于是Maarten Jasen等提出了GCV(generalized cross validation)方法[12]，這種方法無需知道噪聲大小的先驗知識，較好地解決了這一問題。后來，人們針對閾值函數(shù)的選取也進行了一些研究，并給出了不同的閾值[1316]；但是當這些方法用到非高斯、有色噪聲場合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨立同分布噪聲的假設，并且這些方法大多是從Donoho和Johnstone給出的方法發(fā)展而來的，從而它們最后的去噪性能也依賴于用wavelet shrinkage確定閾值時，對噪聲服從獨立正態(tài)分布的假設。目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，近來仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉為如何最大限度地獲得信號的先驗信息[18]，并用這些信息來確定更合適的閾值或閾值向量，以達到更高的去噪效率。在數(shù)學上，小波去噪問題的本質(zhì)是一個函數(shù)逼近問題，即如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準則，尋找對原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。從信號的角度看，小波去噪是一個信號濾波的問題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。圖22 小波去噪的等效框圖在早期，人們通過對邊緣進行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。相對早期的方法而言，小波噪聲對邊緣等特征的提取和保護是有很強的數(shù)學理論背景的，因而便于系統(tǒng)的理論分析。早期的小波去噪工作類似有損壓縮技術，即先對含噪信號進行正交小波變換，再選定一個固定的閾值與小波系數(shù)比較進行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設為零，然后進行小波重構恢復原信號，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗和實際應用[2428]。由于受到各種因素的干擾，這種跟蹤是很困難的，在實際工作中需要一些經(jīng)驗性的判據(jù)。1995年，[2427]，稱為“小波收縮”。他們算法的去噪效果超過了一般的線性去噪技術，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大小，換句話說，是取決于帶噪信號的信噪比的。有文獻表明[34]，與Mallat的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號的信噪比提高10dB以上，實驗結果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實現(xiàn)起來更為簡單。比較有影響的方法有：Eero moncelli和E [31]。 小波去噪方法小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號小波變換后空域相關性進行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號分析和信號處理中的獨特地位。從數(shù)學角度來看，傅立葉變換是通過一個基函數(shù)的整數(shù)膨脹而生成任意一個周期平方可積函數(shù)。傅立葉變換有如下不足：（1）當我們將一個信號變換到頻域的時候，其時間上的信息就失去了。而對于低頻譜的信息，時間間隔要相對較寬以給出完全的信息，亦即需要一個靈活可變的時間—頻率窗，使在高“中心頻率”時自動變窄，而在低“中心頻率”時自動變寬，傅立葉變換無法達到這種要求，它只能作全局分析，而且只對平穩(wěn)信號的分析有用。為此，之后又進一步發(fā)展為短時傅立葉變換(Short Time Fourier Transform)，簡記為STFT，又稱窗口傅立葉變換。其主要特點是：用一窗口函數(shù)對信號作乘積運算，實現(xiàn)在τ附近平穩(wěn)和開窗，然后再進行傅立葉變換。主要有兩方面：一是因為高頻信號一般持續(xù)時間短，而低頻信號持續(xù)時間長，因此需對高頻信號采用小時窗，對低頻信號采用大時窗。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應特性和平穩(wěn)功能，1984年。1985年，YMeyer,，得到了一組離散的小波基(稱為小波框架)。1987年，Mallat將計算機視覺領域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應的分解和重構快速算法—Mallat算法，從而統(tǒng)一了以前所有具體正交小波基的構造。從此，小波變換越來越受到人們的重視，其應用領域來越來越廣泛，如：信號處理、圖像處理、模式識別、語音識別等，并取得了可喜成果。它說明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。因此，一個允許的基本小波的幅度頻譜類似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。將母函數(shù)經(jīng)過伸縮和平移后得到： (33)稱其為一個小波序列。通常情況下，基本小波以原點為中心，因此是基本小波以為中心進行伸縮得到。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對于較小的a則搜索細節(jié)特征。為了使信號重構的實現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件： (39) 式中。（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個方面：①由連續(xù)小波變換恢復原信號的重構分式不是唯一的。②小波變換的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關的)。它的選擇應滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應有速降特性，以便獲得空間局域化。也就是說，小波應具有振蕩性，而且是一個迅速衰減的函數(shù)。可以說，尺度因子類似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細節(jié)。所以，先通過望遠鏡看清全貌，進而通過顯微鏡觀察我們最感興趣的細節(jié)。 離散小波變換在實際運用中，尤其是在計算機上實現(xiàn)時，連續(xù)小波必須加以離散化。需要強調(diào)指出的是，這一離散化都是針對連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對時間t的。在公式(33)中，a ,b ∈R。為方便起見，在離散化中，總限制a只取正值。所以對應的離散小波函數(shù)即可寫作： (310) 而離散化小波變換系數(shù)則可表示為： (311)其重構公式為： (312)C是一個與信號無關的常數(shù)。由于圖像是二維信號，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。若尺度函數(shù)可分離，即：。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細節(jié)兩部分，然后對這兩部分再沿方向用和做同樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級平滑逼近，其它三路輸出，都是細節(jié)函數(shù)。對圖像進行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對圖像的行列進行濾波（卷積），然后進行二取一的下抽樣。分辨率為原來的1/2，頻率范圍各不相同。所以，進行一次小波變換得到4個子帶，進行M次分解就得到3 M+1個子帶，如圖31。該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計特性：圖像本身的能量對應著幅值較大的小波系數(shù),主要集中在高頻（）；噪聲能量則對應著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。去噪時，通常認為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對剩余三個高通部分進行處理。但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。 小波閾值去噪方法小波閾值去噪的基本思路是：（1）先對含噪信號做小波變換，得到一組小波系數(shù)；（2）通過對進行閾值處理，得到估計系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能小；（3）利用進行小波重構，得到估計信號即為去噪后的信號。對連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號各尺度上小波系數(shù)在某些特定位置有較大的值，這些點對應于原始信號的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的較??；對于白噪聲，它對應的小波系數(shù)在每個尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加，系數(shù)的幅值減小。估計小波系數(shù)的方法如下，?。? （41）定義： （42）稱之為硬閾值估計方法。這是一種實現(xiàn)簡單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡單，就是對小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構出降噪后的圖像。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個關鍵因素是閾值的具體估計。從直觀上講,對于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。1 閾值獲取MATLAB中實現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。函數(shù)ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認值。其語法格式為：[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1，IN2，X）[THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（IN1，‘wv’，X）[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]= ddencmp（IN1，‘wp’，X）2 閾值降噪MATLAB中實現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。其語法格式為：[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。,X,39。,N,THR,SORH,KEEPAPP)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。,X,39。,N,THR,SORH)[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp(39。,C,L,39。,N,THR,SORH)函數(shù)wdencmp的功能是使用小波進行降噪。它使用小波對信號或圖像執(zhí)行降噪過程。gbl（global）表示每層都采用同一個閾值進行處理。N表示小波分解的層數(shù)。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘s’和‘h’）。XC是降噪后的信號，[CXC,LXC]是XC的小波分解結構，PHRF0和PERFL2是恢復和壓縮L2的范數(shù)百分比。接下來按照上述小波閾值變換在信號去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進行計算機仿真，仿真程序采用MATLAB語言編寫。 實驗信號的產(chǎn)生 該節(jié)所用到的實驗信號是由wnoise（）函數(shù)產(chǎn)生的長度為211點、含標準高斯白噪聲、信噪比為3的‘heavy sine’信號。其語法格式為：X = wnoise(FUN,N)[X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)[X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT)（1）X = wnoise(FUN,N)產(chǎn)生幅值在[0，1]之間長度為2N的信號，信號的類型由FUN指定：FUN=1 BLOCKS 產(chǎn)生不規(guī)則的方波信號FUN=2 BUMPS 產(chǎn)生低頻噪聲FUN=3 HEAVY SIN 產(chǎn)生隨機間斷的正弦信號FUN=4 DROPLER 產(chǎn)生chirp信號FUN=5 QUADCHIRP 產(chǎn)生4次調(diào)頻信號FUN=6 MISHMASH 產(chǎn)生混雜信號（2）[X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)產(chǎn)生含有白噪聲的信號XN，SQRT_SNR是信號的噪聲比。下面的MATLAB 語句產(chǎn)生信號：%產(chǎn)生一個Heavy sine初始信號x和長度為211點、含標準高斯白噪聲的信號xrefsnr = 3。 [xref,x] = wnoise(3,11,snr,init)。 title(39。)。 title([39。,... num2str(fix(snr))])。圖41 原始信號和含噪信號 各參數(shù)下的去噪效果對比MATLAB工具箱提供了函數(shù)wden以實現(xiàn)自動利用小波進行一維信號的去噪。wname39。wname39。wname39。（2）[XD,CXD,LXD] = wden(C,L,TPTR,SORH,SCAL,N,39。)根據(jù)信號小波分解結構[C,L]對信號進行去噪處理。TPTR的選擇有以下四種閾值規(guī)則：（1）TPTR=‘rigrsure’是一種基于史坦的無偏似然估計（二次方程）原理的自適應閾值選擇。（2）TPTR=‘sqtwolog’采用的是固定的閾值形式，產(chǎn)生的閾值大小事sqrt（2*log（length（x）））