【正文】 t e dt?? ???? （ 21） 當(dāng)然，根據(jù)傳統(tǒng)的 Fourier 變換，原信號(hào) f(t)還必須滿足狄里赫里條件 【 4】 。 在二維的數(shù)字圖像中，假設(shè) ( , )f mn 是一個(gè)包含兩個(gè)離散空間變量 m 和 n 的函數(shù)，則有該函數(shù)的二維 Fourier 變 換 的定義如下： 1 1 212( , ) ( , ) jw m j w mmnF w w f m n e e?? ??? ? ? ? ? ?? ?? （ 22） 式中， 12( , )Fw w 是復(fù)變函數(shù)，其變量 1w 和 2w 的周期均為 2? 。 由于在實(shí)際的數(shù)字圖像處理中，需要借助計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算，所以我們一般采用離散傅里葉變換（ DFT）用做計(jì)算機(jī)處理 Fourier 變換 的方法 。 （ 2）離散 Fourier 變換 可以用一種快速算法實(shí)現(xiàn)，即快速 Fourier 變換 （ FFT）。 在 MATLAB 中可以調(diào)用函數(shù) freqz2 的來(lái)計(jì)算和顯示濾波器的頻率響應(yīng)， 這樣可以很方便的得到線性濾波器的各種特性。我們知道時(shí)域中卷積，頻率中就是相乘，即 Fourier 變換 后的乘積。 假設(shè) A為 MN? 矩陣， B 為 PQ? 矩陣，則它們的卷積 C為 ? ?? ?11M P N Q? ? ? ?矩陣。 （ 3） 圖像特征識(shí)別 Fourier 變換 可以用于與卷積密切聯(lián)系的相關(guān)運(yùn)算。例如：將圖像 與包含字母“ a”的圖像進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，即對(duì)這兩張圖像 先進(jìn)行 Fourier 變換 。連續(xù) Gabor 變換用開(kāi)窗的方法作為 Fourier 變換 的一種簡(jiǎn)單局部化。 2． 2． 1 連續(xù) Gabor 變換 （ 1）首先定義窗函數(shù)：非平凡函數(shù) 【 5】 2( ) ( )g t L R? ，且還有 2( ) ( )tg t L R? ，則稱 ()gt是一個(gè)窗函數(shù)。 （ 2）連續(xù) Gabor 變換的定義：函數(shù) 2()f L R? 關(guān)于窗函數(shù) 2()g L R? 的連續(xù) Gabor變換定義為： ( ) ( , ) { } ( , ) ( ) ( ) iw tG f b w G f b w f t g t b e d t? ???? ? ?? (25) 8 說(shuō)明：（ 1）在 Gabor 變換中，要求 2, ( )f g L R? 只是為了討論的方便，事實(shí)上這個(gè)要求不完全是必要的。 連續(xù) Gabor 變換是 Gabor 在 1946 年首先提出的，實(shí)際上是對(duì)函數(shù) f做一個(gè)好的定位切片 ( ) ( )f t g t b? ，然后再求它的 Fourier 變換 得到的，所以連續(xù) Gabor 變換又叫窗口 Fourier 變換 或短時(shí) Fourier 變換 。設(shè)2( ) ( )g t L R? 是窗函數(shù)，離散的 Gabor 函數(shù)定義 為： 00, 0 0 2( ) e x p ( 2 ) ( ) ( )m n m w n tg t m w t g t n t M T g t??? ? ? （ 26） 式中： 00,tw分別為時(shí)間參數(shù)和頻率參數(shù)。 嚴(yán)格來(lái)講， Gabor 變換只是一種加窗 的傅里葉變換， Gabor 函數(shù)能夠在頻率不同尺度 、不同方向上提取相關(guān)的特征。 9 第三章 小波變換理論 為了獲取信號(hào)的時(shí)域信息，人們對(duì) Fourier 分析進(jìn)行了推廣，其中短時(shí) Fourier變換就是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上引入時(shí)域信息的最初嘗試。 小波分析克服了短時(shí) Fourier 變換在單分辨率上的不足，具有多分辨率的特征，并且在時(shí)間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號(hào)的具體形態(tài)而進(jìn)行動(dòng)態(tài)的調(diào)整，具有表征信號(hào)局部信息的能力。 3． 1 小波的簡(jiǎn)介 我們?cè)谛〔ǚ治龅难?究和應(yīng)用中，會(huì)經(jīng)常提到“信號(hào)”一詞。所有能量有限的集合形成一個(gè)線性空間，記為 2()LR，即所有滿足下式的函數(shù)的集合： 2()f t dt??? ? ??? （ 31） 下面給出小波的定義：對(duì)于函數(shù) 2( ) ( )t L R? ? ，如果 ( ) 0t dt???? ?? （ 32） 則稱其為一個(gè)小波。由于 ()t? 在整個(gè)實(shí)線 R上是可積的，所以它在無(wú)窮遠(yuǎn)處一定是為 0，也就是說(shuō)當(dāng) t?? 時(shí)， ()t? 衰減到 0。也就 是說(shuō)當(dāng) t變動(dòng)的時(shí)候，它是上下波動(dòng)的，這就是“小波”一詞的來(lái)源。 （ 1） Haar 小波的定義： 1, 0 ≤ t＜ f(t)= 1, ≤ t＜ 1 0, 其它 （ 33） 它的傅里葉變換為： 1 1210222? ( ) ( )e x p ( 2 ) ( 2 )sin ( / 4 )e x p ( )2 / 4iwt iwt iwtiw iwf w e f t d t e d t e d tiw eeiwiw wiw? ? ? ????? ? ??? ? ???? ? ? （ 34） （ 2） Shannon 小波的定義： 10 1， ? w 2? ( ,2 )?( ) ( )f w x w??? = 0, 其它 （ 35） 這時(shí)，取 ?()fw的逆變換得： 1 2 3( ) ( sin 2 sin ) sin( ) c os( )22ttf t t ttt ??????? ? ? （ 36） （ 3） Gauss 小波的定義： Gauss 小波是 Gauss 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，即為： 2() tt Cte ?? ?? （ 37） 它的傅里葉變換為： 2?() ww iCwe ?? ??? （ 38） 基于小波族是作為由一個(gè)單個(gè)小波函數(shù) ()t? 的平移和伸縮構(gòu)成的函數(shù)族的概念，我們引入： 12, ( ) ( ) , , 。所以式（ 39）中的 12a? 又稱為規(guī)范化因子。 以下是幾種常見(jiàn)的小波函數(shù)的坐標(biāo)圖像 圖 31 Gauss小波 11 圖 32 shannon小波 8 6 4 2 0 2 4 6 81 0 . 500 . 511 . 5M e y e r 小波 圖 33 meyer小波 3． 2 小波變換 小波變換 【 10】 是 對(duì) Fourier 變換、 Gabor 變換的進(jìn)一步延伸。 3． 2． 1 連續(xù)小波變換 設(shè) 2()f L R? ，則稱： 12( ) ( , ) ( ) ( )tbW f a b a f t d ta? ??? ?? ?? ? （ 311） 為連續(xù)小波變換（常簡(jiǎn)稱小波變換）。 我 們知道，在 Fourier 變換中有時(shí)域中的 Fourier 變換和頻率中的逆 Fourier 變換。相應(yīng)的，式（ 311）成為關(guān)于該基小波的連續(xù)小波變換。給小波再加上一個(gè)容性條件 （ 312）后，一個(gè)函數(shù)就能用連續(xù)小波變換式（ 311）重構(gòu)。 3． 2． 2 離散小波變換 在連續(xù)小波變換中，考慮： 12, ( ) ( ) , , 。這里限制 a,b 取離散值。在 m=0 時(shí)，取固定 0b （ 0 0b? ）整數(shù)倍離散化 b是很自然的，當(dāng)然要選取 0b 使得 0()t nb? ? 覆蓋整個(gè)實(shí)軸。當(dāng)然，對(duì)于 00,ab適當(dāng)?shù)倪x取依賴于小波 ? 。這個(gè)框架就是小波框架，這個(gè)基就是小波基。 在式（ 319）中，兩邊關(guān)于 , ()lmt? 取內(nèi)積，得基數(shù)的系數(shù) ,knd 為： ,knd =, knf ? （ 320） 則稱式（ 317）為小波級(jí)數(shù)，而（ 318）為小波系數(shù)。而圖像又可以看成是二維的信號(hào)，所以對(duì)圖像的處理也可以看成是對(duì)信號(hào)的處理。但在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)信號(hào)是不穩(wěn)定的，而小波分析恰恰是非常適合于非穩(wěn)定信號(hào)的工具。 3． 3． 1 圖像壓縮 圖像壓縮 【 11】 在圖像的傳輸和儲(chǔ)存中起著至關(guān)重要的作用。現(xiàn)階段已有許多較為成熟的算法，如EZW 編碼、 SPIHT 編碼等，而 Shapiro 利用零樹(shù)處理圖像小波系數(shù)，有效地利用了帶間相關(guān)性和帶內(nèi)相關(guān)性，獲得了較高的編碼效率。 以圖像為例，圖像數(shù)據(jù)往往存在冗余，如空間冗余、信息熵冗余、 視覺(jué) 冗余等等。 圖像進(jìn)行壓縮的過(guò)程稱為編碼，恢復(fù)原信號(hào)的過(guò)程稱為解碼。 小波分析用于信號(hào)與圖像壓縮是小波應(yīng)用的一個(gè)重要方面。實(shí)際中，基于小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法、小波域紋理模型方法、小波變換零樹(shù)壓縮、小波變換向量量化壓縮等等。高分辨率子圖像上大部分點(diǎn)的數(shù)值都近似于 0，越是高頻越明顯。下面是利用二維小波分析對(duì)一幅14 圖像進(jìn)行壓縮的例子： 原始圖像100 200 30050100150200分解后低頻和高頻信息200 400 600100200300400第一次壓縮50 100 15020406080100第二次壓縮20 40 60 80204060 圖 34 小波壓縮圖像 3． 3． 2 圖像去噪 噪聲一般可理解為妨礙人的視覺(jué)器官對(duì)所接受圖像源進(jìn)行理解或分析的各種因素。因此，有目的地從測(cè)量數(shù)據(jù)中獲取有效信息，去除噪聲，就成為許多分析過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。小波系數(shù)的稀疏分布，使圖像變換后的熵降低。由于小波的多分辨性，可以很好的刻畫信號(hào)的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖斷點(diǎn)等，可在不同的分辨率下根據(jù)信號(hào)和噪聲的分布特點(diǎn)去噪。由于小波變換可以方便的選擇小波基，如單小波、多小波、多帶小波、小波包等等。 Mallat 提出信號(hào)與噪聲在小波變換各尺度熵不同的傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點(diǎn)，用所余模極大值點(diǎn)恢復(fù)信號(hào)。小波隱馬爾可夫樹(shù)去噪法就是一種典型的基于相關(guān)性的去噪法?；谛〔ㄗ儞Q的去噪方法，利用小波變換中的變尺度特性，對(duì)確定信號(hào)有一種“集中”的能力。 15 下面僅簡(jiǎn)要介紹一下閾值去噪法。這種方法意味著閾值化移去小幅度的噪聲，或非期望的信號(hào)。 軟閾值化表示式為： s g n ( )( ),W W W???? W?? 0,W ?? （ 322） 硬閾值化表示式為： W ,W ?? W?? 0,W ?? （ 323） 閾值化處理的關(guān)鍵是閾值的選擇，如果閾值太小，去噪效果不佳，如果閾值太大，則重要的信號(hào)又會(huì)被濾掉，引起偏差。 計(jì)算小波的閾值 ? ，選擇軟閾值或硬閾值法，對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行取舍，得到新的小波系數(shù) W? 。 下面是一個(gè)對(duì)圖像做 小波 去噪的例子： 原始圖像100 200 30050100150200250含噪聲圖像100 200 30050100150200250第一次去噪圖像100 200 30050100150200250第二次去噪圖像100 200 30050100150200250 圖 35 小波分析用于去噪 16 3． 3． 3 邊緣檢測(cè) 邊緣是圖像最基本的特征，所以邊緣檢測(cè)是圖像處理中的重要內(nèi)容，在工程應(yīng)用中占有著重要地位。基于小波分析的圖像邊緣檢測(cè)就是小波在邊緣檢測(cè)中的應(yīng)用，也是本文研究的重點(diǎn)，具體內(nèi)容將在下面的章節(jié)詳細(xì)討論。現(xiàn)在，它已經(jīng)在 科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。圖像處理是“信息處理”的一個(gè)方面，這一觀點(diǎn)已為人熟知。小波分析在圖像處理方面