【正文】 4 (2 1)Nx? 作為小波函數(shù)。例如，我們可以求出 2()Nt27 的表達(dá)式，如下： 2 1 [ 0 ,1 )11( ) ( ) ( )ttN t N u d u u d u??????? （ 514） 所以可知： 0 ， 其他 2()Nt= t ， 01t?? 2t? ， 12t?? 顯然， 2()Nt的支撐區(qū)間為 [0,2] 。 當(dāng)尺度 S很大時，信號與小波函數(shù)的卷積消去了信號中較小的變化，所以僅能檢測出比較大的劇變點，而這正好就是小波分解中低頻信號的檢測。 5． 1 多尺度邊緣檢測 一般情況下，沿邊緣走向的幅度變化緩慢，垂直于邊緣的幅度變化較大。 4． 3． 2Canny 準(zhǔn)則下的最優(yōu)濾波器 在二維的情形下，可以使用二維高斯函數(shù)導(dǎo)函數(shù)作為濾波器。(0)(0)av e Rx R? ???? ???? （ 413） 其中： 2(0 ) ( )R g x dx???? ? 39。 39。39。 39。 假設(shè)濾波器的有限沖擊響應(yīng)， ( ), [ , ]f x x w w?? 假設(shè)要檢測的邊緣曲線為 ()Gx，并且設(shè)它的邊緣點就在 0x? 處，噪聲為 ()nx 。此外它還經(jīng)常產(chǎn)生雙像素寬的邊緣，且也不能提供邊緣方向的信息。這些算子樣板是由理想的邊緣子圖像構(gòu)成的。 4． 2． 3 Sobel 邊緣檢測算子 針對數(shù)字圖像 ? ?(, )Ri j 的每個像素點，考察它上下左右鄰點灰度的加權(quán)差，與之相近的鄰點權(quán)就大。它在某一點的值就代表該點的邊緣強度，通過對這些值設(shè)置閾值來進一步得到邊緣圖像。 邊緣檢測的基本原理：邊緣檢測的實質(zhì)是采用某種算法來提取出圖像中對象與背景間的交界線?；谶吘壍姆指钍亲钤绲倪吘墮z測方法之一，它代表了一大類基于圖像 邊緣信息的方法?；谛〔ǚ治龅膱D像邊緣檢測就是小波在邊緣檢測中的應(yīng)用，也是本文研究的重點，具體內(nèi)容將在下面的章節(jié)詳細(xì)討論。這種方法意味著閾值化移去小幅度的噪聲，或非期望的信號。 Mallat 提出信號與噪聲在小波變換各尺度熵不同的傳播特性，剔除由噪聲產(chǎn)生的模極大值點，用所余模極大值點恢復(fù)信號。因此，有目的地從測量數(shù)據(jù)中獲取有效信息，去除噪聲，就成為許多分析過程中的一個重要環(huán)節(jié)。 小波分析用于信號與圖像壓縮是小波應(yīng)用的一個重要方面。 3． 3． 1 圖像壓縮 圖像壓縮 【 11】 在圖像的傳輸和儲存中起著至關(guān)重要的作用。這個框架就是小波框架，這個基就是小波基。 3． 2． 2 離散小波變換 在連續(xù)小波變換中，考慮： 12, ( ) ( ) , , 。 3． 2． 1 連續(xù)小波變換 設(shè) 2()f L R? ，則稱： 12( ) ( , ) ( ) ( )tbW f a b a f t d ta? ??? ?? ?? ? （ 311） 為連續(xù)小波變換（常簡稱小波變換）。也就 是說當(dāng) t變動的時候，它是上下波動的，這就是“小波”一詞的來源。 小波分析克服了短時 Fourier 變換在單分辨率上的不足，具有多分辨率的特征，并且在時間窗和頻率窗都可以根據(jù)信號的具體形態(tài)而進行動態(tài)的調(diào)整，具有表征信號局部信息的能力。 連續(xù) Gabor 變換是 Gabor 在 1946 年首先提出的，實際上是對函數(shù) f做一個好的定位切片 ( ) ( )f t g t b? ，然后再求它的 Fourier 變換 得到的，所以連續(xù) Gabor 變換又叫窗口 Fourier 變換 或短時 Fourier 變換 。例如：將圖像 與包含字母“ a”的圖像進行相關(guān)運算，即對這兩張圖像 先進行 Fourier 變換 。 在 MATLAB 中可以調(diào)用函數(shù) freqz2 的來計算和顯示濾波器的頻率響應(yīng)， 這樣可以很方便的得到線性濾波器的各種特性。 經(jīng)典的 Fourier 變換（ FT）定義為： ()Fw= () jwtf t e dt?? ???? （ 21） 當(dāng)然，根據(jù)傳統(tǒng)的 Fourier 變換，原信號 f(t)還必須滿足狄里赫里條件 【 4】 。通過改變圖像的表示域及表示數(shù)據(jù)，可以給后續(xù)的工作帶來很大的便利。根據(jù)連續(xù)小波變換的思想，提出用小波函數(shù)在多個尺度下提取圖像特征。研究了傳統(tǒng)的 圖像變換 和處理的方法，主要對 傅里葉變換 和 Gabor 變換 進行了研 究和探討，闡述了它們在 圖像 分析和處理中的應(yīng)用價值。 1． 4 本文的內(nèi)容安排 4 本文首先討論了傳統(tǒng) 的圖像 分析和處理方法，針對它們在非穩(wěn)定 圖像 信號處理 【 7】方面的不足和單分辨率的缺陷，引出了小波理論并對其做了一定的介紹。由以上的算法可以看出，每種方法都各有優(yōu)缺點，如果單純的用一種則很難做到快速、精準(zhǔn)的身份識別。 （ 2）基于掌紋紋理特性的識別方法。因此，從理論上講，掌紋具有比指紋更好的分辨能力和更高的鑒別能力。掌紋的形態(tài)由遺傳基因控制，因為每個人的基因不相同，所以沒有兩個人的掌紋紋線會完全相同，即使是孿生同胞，紋線也只是相近，不可能完全一樣。例如 在文獻 【 2】 中通過 假設(shè)檢驗來檢測邊緣，利用對二階零交叉點的統(tǒng)計分析得到了圖像中像素是邊緣的概率?？梢灶A(yù)見，在不久的將來，基于邊緣檢測的各種產(chǎn)品會伴隨著我們的日常生活，與我們息息相關(guān)。不同的邊緣有不同的特征，但在大部分情況下，我們都是把圖像的邊緣全部看成是階梯型邊緣，求得檢測這種邊緣的最優(yōu)濾波器，然后用于實踐中?？梢哉f，圖像是用各種觀測系統(tǒng)以不同的形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或者間接作用于人眼并進而產(chǎn)生視知覺的實體。由此可見，視覺信息對人們的重要性。第一種為屋頂型邊緣，它的灰度是先慢慢上升到一定的程度然后再慢慢的下降。由于邊緣廣泛存在于物體與背景之間、物體與物體之間、基元與基元之間且對于圖像視覺特征的提取非常重要，所以邊緣檢測在基于計算機的邊界檢測、圖像分割、模式識別、機器視覺等都有非常重要的作用。 （ 2）檢測二階導(dǎo) 數(shù)的零交叉點。本文在分析傳統(tǒng)邊緣檢測方法的同時，著重探討小波變換在邊緣檢測的應(yīng)用。 （ 3） 紋理特征，是指比紋線更短、更細(xì)的一些紋線， 并且是毫無規(guī)律的分布在手掌上?，F(xiàn)階段，國內(nèi)外主要有以下幾種掌紋識別算法： （ 1）基于點特 征和線特征的識別方法。基于子空間的特征提取是指將掌紋圖像經(jīng)過映射變換 或 矩陣運算，實現(xiàn)從樣本空間 到特征子空間的轉(zhuǎn)換。生物識別技術(shù)以其特有的穩(wěn)定性、唯一性和方便性，得到越來越廣泛的應(yīng)用。主要闡述了課題背景和國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。 本章首先研究了基于傳統(tǒng)算子 Sobel、 Laplace 等的邊緣檢測方法，對它們進行 了 理論分析，然后對各自的特點做出了比較和評價。 ( , )f xy 表示在特定點 (, )xy 處的函數(shù)值，用來表征圖像在該點相應(yīng)的顏色強度或者灰度。本節(jié)主要講述 Fourier 分析的一些基礎(chǔ)知識 和它在圖像處理中的一些應(yīng)用 。 理由如下： （ 1） DFT 的輸入 /輸出 均為離散值，非常適合于計算機的運算操作。 MATLAB 中提供了函數(shù) conv2 來實現(xiàn)二維矩陣的卷積。窗函數(shù) ()gt中心 *t 與半徑 g? 分別定義為： 2*221: ( )t t g t dtg???? ? （ 23） ? ? 1 22*221: ( ) ( )g t t g t d tg ???? ? ?? (24) 其中，窗函數(shù)的寬度為半徑的 2 倍。總而言之， 傳統(tǒng)傅里葉分析將一段較長的時間內(nèi)的信號看作從以前到未來信號一直按照此規(guī)律周期性變化，并分析信號的頻率成分 ；而Gabor 變換在要分析的信號上提取出信號中的每一個小段 (長度自己定 )，將此小段進行兩端周期性延拓，并對這樣的信號進行傳統(tǒng)傅里葉分析，得到此小段內(nèi)信號的頻率特性，平移原有分析信號中小段的位置，得到整個要分析信號在每個小范圍內(nèi)頻率成分。 下面 簡述一下小波在直觀上的特點。由于函數(shù)族 ? ?, ()abt? 是由 ()t? 生成的，所以有時將其稱為母小波。以后再講到小波 的時候，若無特別聲明，指的就是基小波。因此，選取 0maa? ， 00mb nba? ，其中 ,mn取遍 Z，而 001, 0ab??是固定的?，F(xiàn)在，對于性質(zhì)穩(wěn)定不變的信號，處理的理想工具仍然是 Fourier 變換。壓縮就是想法去掉各種冗余，保留真正有用的信息。而對于一個圖像，表現(xiàn)它的最主要的 部分是低頻部分，所以最簡單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像中的高頻部分而保留低頻。 c：基波選擇的靈活性。如果一個信號能量集中于變換域少數(shù)小波系數(shù)上，那么它們的取值必然大于在變換域內(nèi)能量分散的大量信號和噪聲的小波系數(shù)，這種情況下就可以用閾值方法。 對得到的新小波系數(shù) W? 進行逆小波變換，得到去噪后的圖像。它可以進一步細(xì)化為多個研究方向：圖片處理、模式識別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。所以， 應(yīng)將局部邊緣聚合到一副圖像中，使其中只出現(xiàn)對應(yīng)于存在的物體或圖像部分的邊緣鏈。為了簡便，也可以將 ( , )exy 定義為偏導(dǎo)數(shù) ,xyff的絕對值之和，如下： ( , )exy ? ( , ) ( , )xyf x y f x y? （ 42） 人們根據(jù)這些理論提出了許多算法，現(xiàn)在比較常用的邊緣檢測方法有差分檢測法、Roberts 邊緣檢測算子、 Sobel 算子、 Prewitt【 14】 算子、 Robinson 算子、 Laplace 算子、Canny 算子 【 15】 和 LOG 算子 【 16】 等等。 4． 2． 2 Roberts 邊緣檢測算子 Roberts 邊緣檢測算子根據(jù)任意一對相互垂直方向上的差分可用來計算梯度的原理，采用對角線方向相鄰兩像素之差，即： ( , ) ( 1 , 1 )x f f i j f i j? ? ? ? ? ( , 1 ) ( 1 , )y f f i j f i j? ? ? ? ? （ 43） 有了 yf? ， xf? 后，可以根據(jù)下式計算出 Roberts 的梯度幅度值 (, )Ri j ： 22( , ) xyR i j f f? ? ? ? 或 ( , ) xyR i j f f? ? ? ? （ 44） 它們的卷積算子為： 10:01x f ??? ???? 01:10y f ??? ????? （ 45） 選擇合適的門限 TH，如果 (, )Ri j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點， ? ?(, )Ri j 即為邊緣圖像。 它 對噪聲具有平 滑作用，能夠得到較為準(zhǔn)確的邊緣信息。因為它只用一個模板，并且不必綜合 各模板的值。即標(biāo)示出的邊緣位置要和圖像上真正的邊緣位置充分接近。39。0 0 0 0( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 )G G G GH x H H x o x H x? ? ? ? 從而有： ? ?? ?239。39。200( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ()()WWwwwwG x f x d x G x f x d xJ f S NR f Lo c f n f x d xn f x d x??????? ? ? ?????????? （ 412） （ 3）在理想情況下，用濾波器對噪聲響應(yīng)的兩個最大值之間的距離來近似濾波器對一個邊緣點的長度。39。小波變換能夠?qū)D像分解成多種尺度成分，并對大小不同的尺度采用相應(yīng)的時域或空域取樣步長，因此能夠捕捉到任何微小的細(xì)節(jié)。我們令： ( , ) 2 ( 2 , 2 )x j x j jj x y x y??? ? ?? ( , ) 2 ( 2 , 2 )y j y j jj x y x y??? ? ?? （ 53） 并定義小波變換的兩個分量： ( 2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )x j x xjjW f x y f u v u x v y f x y??? ? ? ? ? ? ? ( 2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )y j y yW f x y f u v u x v y f x y? ? ? ? ? ? ? （ 54） 任意的 22()f L R? 的二進制小波變換定義為如下函數(shù)族：