【正文】 y??? ? ? ? ? ? ? ( 2 , , ) ( ( , ) , ( , ) ) ( , )y j y yW f x y f u v u x v y f x y? ? ? ? ? ? ? （ 54） 任意的 22()f L R? 的二進(jìn)制小波變換定義為如下函數(shù)族： ? ?( 2 , , ) ( 2 , , ) , ( 2 , , )j x j y jjZW f x y W f x y W f x y ?? （ 55） 為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個(gè)正常數(shù)A和 B，對(duì) ? ?2( , ) ( 0 , 0 )xyw w R? ? ?，使得 22( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )xyj j j jx y x yjA w w w w B???? ? ?? ? ?? （ 56） 上式中， x? 和 y? 分別表示 x? 和 y? 的傅里葉變換。此外，因物體大小有差別，它們的邊緣也就有不同的尺度。小波變換能夠?qū)D像分解成多種尺度成分，并對(duì)大小不同的尺度采用相應(yīng)的時(shí)域或空域取樣步長(zhǎng)，因此能夠捕捉到任何微小的細(xì)節(jié)。由于求導(dǎo)和求卷積是可以結(jié)合的，所以可以先用高斯函數(shù)濾波，然后再求導(dǎo)，即 ? ?( , ) ( ( , ) ) ( , ) ( , ) ( , )H x y G x y I x y G x y I x y? ? ? ? ? ? （ 416） 顯然，上式可以看成是先用高斯濾波器進(jìn)行平滑，再求梯度。39。39。200( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ()()WWwwwwG x f x d x G x f x d xJ f S NR f Lo c f n f x d xn f x d x??????? ? ? ?????????? （ 412） （ 3）在理想情況下，用濾波器對(duì)噪聲響應(yīng)的兩個(gè)最大值之間的距離來(lái)近似濾波器對(duì)一個(gè)邊緣點(diǎn)的長(zhǎng)度。 39。39。39。0 0 0 0( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ) ( 0 )G G G GH x H H x o x H x? ? ? ? 從而有： ? ?? ?239。 39。39。三準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： （ 1）好的檢測(cè)結(jié)果。即標(biāo)示出的邊緣位置要和圖像上真正的邊緣位置充分接近。由于上面的原因， Laplace 算子很少直接用于檢測(cè)邊緣，而主要應(yīng)用于已知邊緣的像素后，確定 該像素是在圖像的暗區(qū)或明區(qū)一邊。因?yàn)樗挥靡粋€(gè)模板，并且不必綜合 各模板的值。依次用邊緣樣板去檢測(cè)圖像，與被檢測(cè)區(qū)域最為相似的樣板給出最大值，然后用這個(gè)最大值作為算子的輸出值 (, )Pi j ， 這樣可以將邊緣檢測(cè)出來(lái)。 它 對(duì)噪聲具有平 滑作用，能夠得到較為準(zhǔn)確的邊緣信息。因此， Sobel 算子的定義如下： ( , ) xys i j f f? ? ? ? 19 = ( 1 , 1 ) 2 ( 1 , ) ( 1 , 1 ) ( 1 , ) 2 ( 1 , ) ( 1 , 1 )f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ( 1 , 1 ) 2 ( , 1 ) ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) 2 ( , 1 ) ( 1 , 1 )f i j f i j f i j f i j f i j f i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 它的卷積算子為： 1 0 1: 2 0 21 0 1x f?????????? 1 2 1: 0 0 01 0 1y f? ? ???????? 選擇適當(dāng)?shù)拈T限 TH，如果 (, )Ri j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Ri j 即為邊緣圖像。 4． 2． 2 Roberts 邊緣檢測(cè)算子 Roberts 邊緣檢測(cè)算子根據(jù)任意一對(duì)相互垂直方向上的差分可用來(lái)計(jì)算梯度的原理，采用對(duì)角線方向相鄰兩像素之差，即： ( , ) ( 1 , 1 )x f f i j f i j? ? ? ? ? ( , 1 ) ( 1 , )y f f i j f i j? ? ? ? ? （ 43） 有了 yf? ， xf? 后，可以根據(jù)下式計(jì)算出 Roberts 的梯度幅度值 (, )Ri j ： 22( , ) xyR i j f f? ? ? ? 或 ( , ) xyR i j f f? ? ? ? （ 44） 它們的卷積算子為： 10:01x f ??? ???? 01:10y f ??? ????? （ 45） 選擇合適的門限 TH，如果 (, )Ri j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點(diǎn)， ? ?(, )Ri j 即為邊緣圖像。但是，用這種方法就必須使差分的方向與邊緣方向垂直，這就需要對(duì)圖像的不同方向都進(jìn)行差分運(yùn)算，實(shí) 際上增加了運(yùn)算的復(fù)雜性。為了簡(jiǎn)便，也可以將 ( , )exy 定義為偏導(dǎo)數(shù) ,xyff的絕對(duì)值之和，如下： ( , )exy ? ( , ) ( , )xyf x y f x y? （ 42） 人們根據(jù)這些理論提出了許多算法，現(xiàn)在比較常用的邊緣檢測(cè)方法有差分檢測(cè)法、Roberts 邊緣檢測(cè)算子、 Sobel 算子、 Prewitt【 14】 算子、 Robinson 算子、 Laplace 算子、Canny 算子 【 15】 和 LOG 算子 【 16】 等等。我們將邊緣定義為圖像中灰度發(fā)生急劇變化的區(qū)域邊界，它的變化情況可以用圖像灰度分布的梯度來(lái)反映，因此我們可以用局部圖像微分的方法來(lái)獲得邊緣檢測(cè)算子 。所以， 應(yīng)將局部邊緣聚合到一副圖像中，使其中只出現(xiàn)對(duì)應(yīng)于存在的物體或圖像部分的邊緣鏈。本章首先討論了傳統(tǒng)的基于分割的邊緣檢測(cè)方法；然后對(duì)幾種經(jīng)典的邊緣算子進(jìn)行理論分析，并對(duì)各自的特點(diǎn)做出了比較和評(píng)價(jià)；最后介紹 Canny 連續(xù)準(zhǔn)則及其算法。它可以進(jìn)一步細(xì)化為多個(gè)研究方向：圖片處理、模式識(shí)別、景物分析、圖像理解、光學(xué)處理等等。 總的來(lái)說(shuō)，小波分析的應(yīng)用是與小波分析的理論研究緊密聯(lián)系在一起的。 對(duì)得到的新小波系數(shù) W? 進(jìn)行逆小波變換，得到去噪后的圖像。 軟閾值化與硬閾值化是對(duì)超過(guò)閾值的小波系數(shù)進(jìn)行縮減的兩種主要方法。如果一個(gè)信號(hào)能量集中于變換域少數(shù)小波系數(shù)上，那么它們的取值必然大于在變換域內(nèi)能量分散的大量信號(hào)和噪聲的小波系數(shù)，這種情況下就可以用閾值方法。 b：基于相關(guān)性：首先對(duì)含噪信號(hào)做小波變換，然后計(jì)算相鄰尺度間小波系數(shù)的相關(guān)性，根據(jù)相關(guān)性的大小區(qū)別小波系數(shù)的類型，做出取舍，最后進(jìn)行重構(gòu)。 c：基波選擇的靈活性。 小波去噪 【 12】 的成功主要是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q有如下的特點(diǎn)： a：低熵性。而對(duì)于一個(gè)圖像，表現(xiàn)它的最主要的 部分是低頻部分，所以最簡(jiǎn)單的壓縮方法是利用小波分解，去掉圖像中的高頻部分而保留低頻。它具有壓縮速度快、壓縮比高、壓縮后能保持信號(hào)與圖像的相關(guān)特征不變等特點(diǎn)，且在傳輸中可以抗干擾。壓縮就是想法去掉各種冗余，保留真正有用的信息。小波變換由于具有良好的時(shí)域局部化性能，有效的克服了 Fourier 變換在處理非平穩(wěn) 的復(fù)雜圖像信號(hào)時(shí)的局限性，因而在圖像壓縮領(lǐng)域 受 到了廣泛的重視。現(xiàn)在，對(duì)于性質(zhì)穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是 Fourier 變換。 3． 2． 3 小波級(jí)數(shù) 首先，從正交小波的定義開始，記： 2, ( ) 2 ( 2 ) , ,kkkn t t n k n Z??? ? ? （ 317） 一個(gè)小波 2( ) ( )t L R? ? 稱為一個(gè)正交小波，如果 ? ?,kn? 是 2()LR的一個(gè)規(guī)范正交基，即： , , , , , , ( ) ( ) , , , ,k n l m k n l m k l n mt t d t k m n l Z? ? ? ? ? ????? ? ?? （ 318） 而且，每個(gè) 2()f L R? 都能寫成： ,( ) ( )k n k nknf t d t?????? ? （ 319） 13 上面的定理中，對(duì) 2, ( )f g L R? ， , ( ) ( )f g f t g t dt???? ?表示空間 2()LR的內(nèi)積，而()gt表示函數(shù)的復(fù)共軛。因此，選取 0maa? ， 00mb nba? ，其中 ,mn取遍 Z，而 001, 0ab??是固定的。 0ab tbt a a b R aa??? ?? ? ? （ 314） 這時(shí)，用函數(shù) f(t)的連續(xù)小波變換就可以重構(gòu)函數(shù)，我們知道，這種重構(gòu) 是 冗余的。以后再講到小波 的時(shí)候，若無(wú)特別聲明，指的就是基小波。為了研究的需要，上式也常記為 ? ?( , )W f a b? 。由于函數(shù)族 ? ?, ()abt? 是由 ()t? 生成的，所以有時(shí)將其稱為母小波。 下面給出一些小波的例子。 下面 簡(jiǎn)述一下小波在直觀上的特點(diǎn)。因?yàn)檫@些特點(diǎn)，小波分析可以探測(cè)正常信號(hào)中的瞬態(tài)，并展示其頻率成分，被稱為“數(shù)學(xué)顯微鏡”，廣泛應(yīng)用于各個(gè)時(shí)域分析領(lǐng)域?？偠灾?， 傳統(tǒng)傅里葉分析將一段較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)的信號(hào)看作從以前到未來(lái)信號(hào)一直按照此規(guī)律周期性變化，并分析信號(hào)的頻率成分 ；而Gabor 變換在要分析的信號(hào)上提取出信號(hào)中的每一個(gè)小段 (長(zhǎng)度自己定 )，將此小段進(jìn)行兩端周期性延拓，并對(duì)這樣的信號(hào)進(jìn)行傳統(tǒng)傅里葉分析，得到此小段內(nèi)信號(hào)的頻率特性，平移原有分析信號(hào)中小段的位置，得到整個(gè)要分析信號(hào)在每個(gè)小范圍內(nèi)頻率成分。 2． 2． 2 離散 Gabor 變換 在基于計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用中，我們使用的是離散變換而不是連續(xù)變換。窗函數(shù) ()gt中心 *t 與半徑 g? 分別定義為： 2*221: ( )t t g t dtg???? ? （ 23） ? ? 1 22*221: ( ) ( )g t t g t d tg ???? ? ?? (24) 其中，窗函數(shù)的寬度為半徑的 2 倍。再利用快速卷積的方法計(jì)算它們的卷積，提取卷積運(yùn)算的峰值，得到在圖像 中字母“ a”的定位 （白色小點(diǎn)） ，程序執(zhí)行的結(jié)果如下： 圖 21 圖像 圖 22 字母“ a”的圖像 7 圖 23 快速卷積結(jié)果 圖 24 對(duì)字母“ a”的定位結(jié)果 2． 2 Gabor 變換 本節(jié)介紹的 Gabor 變換是信號(hào)時(shí) 頻分析的一種重要工具。 MATLAB 中提供了函數(shù) conv2 來(lái)實(shí)現(xiàn)二維矩陣的卷積。 6 （ 2） 快速卷積 能夠?qū)崿F(xiàn)快速卷積是 Fourier 變換 的另一個(gè)重要應(yīng)用。 理由如下： （ 1） DFT 的輸入 /輸出 均為離散值，非常適合于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算操作。對(duì)大多數(shù)工程信號(hào)來(lái) 說(shuō)，這個(gè)條件是容易滿足的。本節(jié)主要講述 Fourier 分析的一些基礎(chǔ)知識(shí) 和它在圖像處理中的一些應(yīng)用 。比如，F(xiàn)ourier 變換可以使處理工作在頻率中進(jìn)行，簡(jiǎn)化了運(yùn)算； Gabor 變換用開窗的方法作為 Fourier 變換的一種簡(jiǎn)單局部化，使計(jì)算更為方便。 ( , )f xy 表示在特定點(diǎn) (, )xy 處的函數(shù)值，用來(lái)表征圖像在該點(diǎn)相應(yīng)的顏色強(qiáng)度或者灰度。本章用改進(jìn)的 B樣條函數(shù)作為小波函數(shù)，對(duì)圖像 進(jìn)行多級(jí)的邊緣檢測(cè)。 本章首先研究了基于傳統(tǒng)算子 Sobel、 Laplace 等的邊緣檢測(cè)方法，對(duì)它們進(jìn)行 了 理論分析，然后對(duì)各自的特點(diǎn)做出了比較和評(píng)價(jià)。 第三章是小波變換理論。主要闡述了課題背景和國(guó)內(nèi)外的研究現(xiàn)狀。在研究和分析了現(xiàn)有的圖 像邊緣檢測(cè)方法后，針對(duì)可能漏檢微弱邊緣和邊緣定位不夠準(zhǔn)確的不足，采用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行邊緣檢測(cè)。生物識(shí)別技術(shù)以其特有的穩(wěn)定性、唯一性和方便性，得到越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。于是，將多種算法綜合起來(lái)的多特征融合的方法便成為研究的方向。基于子空間的特征提取是指將掌紋圖像經(jīng)過(guò)映射變換 或 矩陣運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)從樣本空間 到特征子空間的轉(zhuǎn)換。 掌紋可以被認(rèn)為是無(wú)規(guī)則但在個(gè)體間獨(dú)一無(wú)二的一種紋理?，F(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)外主要有以下幾種掌紋識(shí)別算法： （ 1）基于點(diǎn)特 征和線特征的識(shí)別方法。除此之外，掌紋識(shí)別還是一種非侵犯性的識(shí)別方法，用戶比較容易接受，同時(shí)，對(duì)設(shè)備的要求也不是太高。 （ 3） 紋理特征，是指比紋線更短、更細(xì)的一些紋線， 并且是毫無(wú)規(guī)律的分布在手掌上。 掌紋 體現(xiàn)在圖像上的特征主要包