【正文】 ? ?( 2 , , ) ( 2 , , ) , ( 2 , , )j x j y jjZW f x y W f x y W f x y ?? （ 55） 為了保證小波變換的完備性和穩(wěn)定性，還必須滿足下面的條件：存在兩個正常數(shù)A和 B，對 ? ?2( , ) ( 0 , 0 )xyw w R? ? ?，使得 22( 2 , 2 ) ( 2 , 2 )xyj j j jx y x yjA w w w w B???? ? ?? ? ?? （ 56） 上式中， x? 和 y? 分別表示 x? 和 y? 的傅里葉變換。 現(xiàn)在，討論一下 B樣條的定義及一些性質(zhì)。由之前的討論可知 3()Nx的支撐區(qū)間是 [0,3] ，并且可以取小波 ()x? 的中心點為 3()Nx的中心，即 處。 334 3 3( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 2 )( 2 1 ) ( 2 2 )N x N xN x N x N xxx? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? （ 524） 對上式進行 Fourier 變換有： 23311? ?? ( ) ( ) ( )2 2 2 2jw jw N e N e? ???? = 231 ? ( )( )22 jw jwwN e e??? （ 525） 令 2jwze?? ，代入尺度變換公式（ 521）可推出： 3 2 31( ) ( 1 ) 0 .1 2 5 0 .3 7 5 0 .3 7 5 0 .1 2 58H z z z z z? ? ? ? ? ? （ 526） 又令 2 2 21( ) ( )2jw jw jw jwL e e e e? ? ? ???，用 2jwze?? 代換即為： 2( ) z z z?? （ 527。 5． 3 構(gòu)造小波用于邊緣檢測 由平滑函數(shù) ()x? 來構(gòu)造小波 ()x? 【 20】 的方法很多，而樣條函數(shù)具有很好的平滑和邊緣提取能力，所以本文采用四階 B樣條作為光滑函數(shù) ()x? ，那么可知相應(yīng)的小波()x? 即為三階樣條函數(shù)。 5． 2 基數(shù)樣條空間和 B樣條 基數(shù)樣條空間 【 19】 指的是具有等距節(jié)點的多項式樣條函數(shù)空間。梯度矢量的方向指出了圖像灰度值變化最快的方向。而這個梯度又可以利用二元函數(shù) ( , ) ( , )G x y I x y? 在此點處兩個正交方向上的方向?qū)?shù)來求，即為： 122212()G I G I G Inn??? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???邊 緣 強 度 （ 417） 而邊緣的方向可以由下式計算： 1212()GI G I n G I nG I n n? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?n （ 418） 然后，用閾值操作檢測其局部最大值就可得出檢測結(jié)果。 2(0 ) ( )R g x dx???? ? 所以噪聲在 ()fx濾波后的兩個相鄰極大值點的距離為： 239。12 39。() ()() ( 0 )( ) ( )wn wWG WE H x n f x d xEx HG x f x d x?????????? ????????? （ 410） 在這里， ()Ex表示的是 x 的數(shù)學(xué)期望。 2 39。經(jīng)過 ()fx濾波后，邊緣點處的信號響應(yīng)為： ( ) ( )WG WH G x f x dx???? （ 47） 而噪聲響應(yīng)的平方根為： 1220 ()Wn WH n f x dx???? ????? （ 48） 于是， Canny 第一個準(zhǔn)則的數(shù) 學(xué)表達式為： 1220( ) ( )()()WWGWnWG x f x dxHSNR f Hn f x dx????? ???????? （ 49） 23 （ 2） 定位準(zhǔn)則。即為對邊緣的檢測錯誤率要盡量低，表現(xiàn)在：一方面在圖像上有邊緣的地方不應(yīng)該沒有；另一方面也不要出現(xiàn)本來圖像上沒有的虛假邊緣。 4． 2． 5 Robinson 邊緣檢測算子 Robinson 邊緣檢測算子也是一種邊緣樣板算子，其算法和 Prewitt 邊緣檢測算子相似，不同的是 8 個樣板，如下： 1 2 10001 2 1????? ? ??? 2 1 00 0 00 1 2???????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 0 1 21 0 12 1 0????????? 20 1 2 10001 2 1? ? ??????? 2 1 01 0 10 1 2????????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 1 0 12 0 21 0 1????????? 選擇適當(dāng)?shù)拈T限 TH，如果 (, )Pi j TH，則 (, )ij 為階躍狀邊緣點， ? ?(, )Pi j 即為邊緣圖像。特別是使用大的鄰域時，抗噪性能會更好，但缺點是這樣會相應(yīng)的增加計算量，而且得出的邊緣會比較粗。根據(jù)灰度迅速變化處一階導(dǎo)數(shù)達到最大值原理，就必然要求差分方向與邊緣方向垂直，也就要通過對各個不同方向求一階導(dǎo)數(shù)的最大值來檢測邊緣。可以記： ( , ) fff x y i jxy??? ? ? （ 41） 為圖像的梯度， ( , )f xy? 中包含局部灰度的變化信息?；谶吘壍姆指钜蕾囉谶吘墮z測算子找到的圖像邊緣，這些邊緣顯示了圖像在紋理、色彩和灰度等方面的不連續(xù)的位置。由于在實際中，信號絕大多數(shù)是非 穩(wěn)定的，而小波分析正是適用于非穩(wěn)定信號的處理工具。 Donoho 等人提出了一種典型的閾值選取方法，在理論上給出并證明了閾值與噪聲的方差成正比，記 n 為小波分解次數(shù)，則有： 2logn??? （ 324） 可以總結(jié)出基于小波變換的閾值去噪法的步驟如下： 選擇合適的小波，對所給的信號進行小波變換，得到小波變換系數(shù) W。 c：硬閾值方法或軟閾值方法。 b：多分辨性。 一個圖像作小波分解后，可得到一系列不同分辨率的子圖像，不同分辨率的子圖像對應(yīng)的頻率是不同的。值得一提的是，基于小波變換的圖像壓縮的部分算法已融入 JPEG2020 標(biāo)準(zhǔn) 【 6】 中。注意到小波變換的定義式（ 39），式（ 318）正好是式（ 39）中 1 2 , 2kka b n??的情形，這時，小波系數(shù)變成： , 1, ( ) ( , )22k n k n kknd f W f???? （ 321） 3． 3 小波分析在圖像處理中的應(yīng)用 由于圖像在人們的日常生活中無處不在，對圖像的處理隨之也成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分。對于固定的伸縮步長 0 1a? ，可選取 0maa? ， mZ? ，為不失其一般性可假定 0 1a? （或 0 1a? ）。下面介紹如何用小波變換 ? ?( , )W f a b? 重構(gòu) f(t)： 首先，假定 2()LR?? ，為了由連續(xù)小波變換式（ 310）重構(gòu) f(t)，需要 ()t? 滿足12 容性條件： 1 2? ()C w w? ?????? ? ?? （ 312） 基小波的 定義：如果 2()LR?? 并且滿足（ 312）的條件，則稱 ? 為一個基小波。 0ab tbt a a b R aa??? ?? ? ? （ 39） 在式中： a為尺度參數(shù)， b為位移參數(shù)，這時我們有 2 22 12, ( ) ( ) ( )ab tbt a d t t d ta? ? ? ????? ? ? ??? ? ??? （ 310） 即 小 波經(jīng)（ 39）式的 方程 伸縮和平移后的函數(shù)的范數(shù)等于原來小波的范數(shù)。以后提到信號 f(t)都是指它是能量有限的。 離散 Gabor 變換定義為： ,( )( , ) , mnG f m n f g? （ 27） 二重序列 , , ,( )( , ) ( ) , ( )m n m n m nm n m nG f m n g t f g g t??? ? ? ? ? ???? （ 28） 稱為 f的 Gabor 級數(shù)。這個窗的存在使單變量函數(shù)變換成了兩個參數(shù)的新函數(shù)，給出窗的中心位置的時間參數(shù)和計算加窗后信號的 Fourier 變換 得到的頻率參數(shù)。將該性質(zhì)與 FFT結(jié)合起來，便可以快速計算函數(shù)的卷積。正因為這種周期性的存在，在圖像顯示時，這兩個變量的取值范圍是 1w ??? ， 2w ?? 。本章，先對傳統(tǒng)的 Fourier 變換和 Gabor 變換做初步的研究，為后面的小波理論打下基礎(chǔ)。即系統(tǒng)的總結(jié)了本文研究成果以及存在的不足，然后提出了后續(xù)研究工作的方向。之后深入研究了小波變換在圖像處理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。然后在基于小波多尺度邊緣檢測的方法上改進算法，采用三階 B樣條函數(shù) 【 8】 作為相應(yīng)的尺度函數(shù)。 通過融合，識別的精度和速度都會有很大的提高。 采用紋理分析方法處理掌紋圖像可以很好的避免圖像在空域中噪聲的影響，簡化圖像預(yù)處理步驟。 1． 3． 2 基于圖像的 掌紋識別算法 到目前為止，研究人員已經(jīng)在 基于圖像處理的 掌紋識別領(lǐng)域做了大量的研究并取得了一定的成果。 （ 2）點特征主要是指手掌的皮膚表面特征 如掌紋 突紋在局部形成的奇異點及紋形。作為研究非平穩(wěn)信號的利器，小波在邊緣檢測方面具有得天獨厚的優(yōu)勢。因為邊緣通常發(fā)生在灰度值變化較大的地方，對應(yīng)的就是函數(shù)梯度較大的地方，所以一種比較理想的方法就是尋找好的求導(dǎo)算子。 第三，很多圖像并沒有具體的物體，對這些圖像的理解取決于他們的紋理性質(zhì)而提取這些紋理性質(zhì)與邊緣檢測有著密切的聯(lián)系?！彼€定義了邊緣檢測為“主要是（圖像的）灰度變化的度量、檢測和定位”。1 第一章 緒 論 1． 1 研究背景及意義 視覺，是人類取得信息的最主要來源。 Poggio 在參考文 獻 【 1】 中提到“ 物體（的邊界）或許并沒有對應(yīng)著圖像中物體（的邊界），但是邊緣具有十分令人滿意的性質(zhì)，它能大大減少所要處理的信息但是又保留了圖像中物體的形狀信息。 第二，憑經(jīng)驗我們知道，只要能成功的得到圖像的邊緣，圖像的分析就會大大簡化，識別也會容易得多?，F(xiàn)階段，邊緣檢測的方法主要有以下幾種： （ 1）檢測梯度的最大值。 20世紀(jì)末，隨著小波分析的迅速發(fā)展，小波開始用于邊緣檢測。 （ 1）掌紋中最重要的特征是紋線特征，這些紋線中最清晰的幾條在人的一生中基本上不會發(fā)生變化，并且在低分辨率和低質(zhì)量的圖像中仍能夠清晰的辨認(rèn)。由于以上的特點，掌紋識別成為了近幾年發(fā)展特別快的一種生物識別技術(shù)，具有廣闊的發(fā)展前景。目前有很多方法是針對紋理分析處理掌紋圖像的 ，如 傅立葉變換 、 小波變換 等方法。這種融合可以體現(xiàn)在特征級，也可以體現(xiàn)在匹配級 。為了更好的提取圖像特征，首先對圖像進行了預(yù)處理，使之達到 灰度增強 的目的。本章重點講述了小波變換的定義，介紹了幾個典型的小波函數(shù)。 第六章是總結(jié)與展望。此外，隨著小波分析方法在圖像處理中的應(yīng)用不斷發(fā)展成熟，基于小波的圖像處理 成為 當(dāng)前研究的 熱門，也正是本文討論的課題。 在二維的數(shù)字圖像中，假設(shè) ( , )f mn 是一個包含兩個離散空間變量 m 和 n 的函數(shù)，則有該函數(shù)的二維 Fourier 變 換 的定義如下： 1 1 212( , ) ( , ) jw m j w mmnF w w f m n e e?? ??? ? ? ? ? ?? ?? （ 22） 式中， 12( , )Fw w 是復(fù)變函數(shù)，其變量 1w 和 2w 的周期均為 2? 。我們知道時域中卷積，頻率中就是相乘，即 Fourier 變換 后的乘積。