【正文】 法二） 由于 在 上連續(xù)，因此存在最大值 和最小值 ．即f],[,bad?Mm , ．Mxfm?)(],[dc?因此有 ， ．cf?)(即有 ， ．pfp)( qqm把上面兩個式子相加得到，Mpcffq)()()( ????把以上不等式同時除以 ,又得到p ，qpffm)(由介值定理可得必存在一點 ，使得],[,badc???，)()(?fqpcff??變換一下形式，得到所求，即．)(()(fdfcf （積分第一中值定理）若 在 上連續(xù)，則至少存在一點 ，使得],[ba?],[ba?．)()(fxfba???? 證 由于 在 上連續(xù)，因此存在最大值 和最小值 ．由f],[ Mm, ，xfm?)(],[ba?使用積分不等式性質得到 ，?)(b)()(dxfba??或者 ．Mfmba??)(1再由連續(xù)函數的介值性，至少存在一點 ，使得?],[? ，???badxff)()(在變換一下形式，等式得證． 介值定理在實際問題中的應用介值定理在實際問題的解題中具有廣泛的應用．往往一些較復雜的難題應用介值定理都能輕易地解決，解題思路清晰，解題步驟簡單．下面我們就舉幾個較復雜的例題，淺談介值定理在解題中的應用． [7] 某運動員30min跑了6km，證明一定存在某時刻，該時刻起的5min內該運動員跑了l km．證明 假設 為離開起跑線的公里數．對于 中的任意一個 , 表示運動員從x ]5,0[x)(f跑到 所需要的時間．函數 是連續(xù)函數．由已知條件知道， x1?)(xf．30)(4)3(21)0( ???fff由此推出 既不同時都小于 5，又不同時都大于 5．所以在 內存在點5),.(f ]5,[滿足 ．由介值定理可知，在 之間存在 ，滿足 ．也就是說ba, b?ba,c)(?cf從 km到 km恰好跑了5min， km處對應時刻即為所求．c1?c [7] 某登山運動員于星期六上午7:00開始登山，下午5：00到達山的頂點．在山上宿營后，在星期日上午7:00開始返回，下午5：00到達出發(fā)點．證明在星期日的某時刻和星期六的同一時刻在同一高度．證明 假設時間格式為24制，且星期日的出發(fā)點就是山的頂點．出發(fā)點和山的頂點的高度差為 , 表示運動員在上山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高度，其中)0(?h(tf t, , , 表示運動員在下山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高]17[?t?fh)17)(tgt度，其中 ， , . 表示在星期日的某時][t(0?)()(tgftF?])17,[?刻和星期六的同一時刻運動員所處位置的高度差．因為函數 、 是連續(xù)的，所以函f(tg數 也是連續(xù)的 ,且 , .由介值定理可知，在 內存在 ，)(tF)7(??hF)17(?h],[0t使 ，即在星期日的 時刻和星期六的同一時，運動員所在高度是相同的．0?0t [7] 椅子在不平的地面能否放穩(wěn)?先作以下假設：①椅子有四條腿，且每條腿一樣長．每條腿與地面有一個接觸面，可視為一個點，4個點連線成矩形；②地面不平，地面的高度是連續(xù)變化的，不允許有臺階，將地面看作連續(xù)曲面；③椅子在任何位置至少有3個椅腳同時著地；④椅子放穩(wěn)，指四條腿都與地面接觸，每條腿的腳與地面的距離為零．椅子雖然可能會傾斜，但不會搖晃．解 圖2 中 為椅子 4個椅腳的初始位置，椅子的中心是 點，椅子繞中心旋)(aABCDO轉 后的位置如圖 2( )所示．記 到地面的距離和為 ， 到地面的距離和為?180bA, )(?fCB,，則由于椅子必有三條腿同時著地，所以必有兩條相鄰的椅腳同時著地，即對任意)(?g的旋轉角， 和 至少有一個為零，因此恒有 ，不妨設當 時，)(f?g 0)(?gf 0??．當椅子旋轉 時， 與 的位置互換，0,)(???180ADBC這樣，當 時, ,令 ，則 ．?)(,)(???f )()(?fh?,)(?h)(??( )初始位置a ( )旋轉后的位置b因為 和 是連續(xù)函數，所以 也是連續(xù)函數，由介值定理可知，在 內)(?fg)(?h ],0[?必存在 使 ，即 ．又因為恒有 ，所以0?h0)(0???gf 0)(??gf，即 說明當椅子繞著中心旋轉 方向，椅子的四條腿同)(f時著地．3 介值定理的推廣 一元函數介值定理的推廣對于介值定理，從兩個方面進行推廣．一方面，從閉區(qū)間 入手，推廣為任意],[ba區(qū)間 ；另一方面，從常數 與 入手， 與 也可為 或 ．利用推廣的)(afbf)(aff???介值定理，得到了求一類方程絕對誤差為 的近似解的一種好方法．? 推廣介值定理的內容 [8]定理1 如果函數 在區(qū)間 內連續(xù)，且)(xf),[ba、 ，A???xlim)(fB?)A?不論 是 與 之間的怎樣一個數,在開區(qū)間 內至少有一點 ，使得 ．CAB,cCcf?)(證明 不妨設 ,?圖 21 椅子 4 個椅腳位置示意圖BADCxy DCAByx 因為 ，所以對于給定的正數 ,存在一個正數 ，??bxlim)(fB?CB??0? )(0ab???當 時，就有 ．則 ，0??0)(???xf )(?xf,其中 滿足條件 ．現從 中任CBf?)(? 0??b??0?x取一點 ，令 ，顯然 ,以及 ．d)(dfD?DAda又因為 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 、 ．由介值定理得：在開區(qū)x],[aAf?)(Df)(間 內至少有一點 ，使 ．所以在開區(qū)間 內至少有一點 ，使得),(acCf?)( ,bc．Ccf?同理可得定理2：定理2 如果函數 在區(qū)間 內連續(xù)，且 、 ，)(xf),[baAaf?)(??bxlim)(f??)(?或不論 是 中的怎樣一個數，在區(qū)間 內至少有一點 ，使得,),(）或 （ ???A,c．Ccf?)定理3 如果函數 在區(qū)間 內連續(xù)，且 、 ,)(xf),[aAaf?)(???xli)(f??)(??或不論 是 中的怎樣一個數，在區(qū)間 內至少有一點 ，使得,),(）或 （ ???A, c．Ccf?)證明 因為 ,???xlim)(f??所以對于給定的正數 ,必有正數 ，使得當 時，就CM)(aN?Nx?有 ．)(xf??則 ,其中 滿足條件 ．現從 中任取一點 ，令??xx??xd，顯然 以及 ．由介值定理得：在開區(qū)間 內至少有一點 ，)(dfD?AC?ad?),(ac使得 ．c所以在區(qū)間 內至少存在一點 ，使得 ．),(??acCcf?)(同理可得定理4：定理4 如果函數 在區(qū)間 內連續(xù)，且 、 ,不)(xf),[??aAaf)(???xlim)(fB?)A?論 是 之間的怎樣一個數，在區(qū)間 內至少有一點 ，使得 ．CBA或 ),(??acCcf?)(以上我們只是討論了區(qū)間 與 這兩種情形．實際上，對于其他區(qū)間也有類),[b似的結論．這樣，就構成了推廣的介值定理． 推廣的介值定理的一個應用以推廣的介值定理為基礎，結合函數的單調性，可以得到求一類方程 絕對誤0)(?xf差為 的近似解的一種好方法，其中 的定義域 ，而 在)(?)(xfy?iID?fy內單調連續(xù)，且 與 無公共內點．iIiIj)(?定理 5 如果函數 在閉區(qū)間 上單調連續(xù)，且 ，而xf],[ba0)(?bfa均同號，112an???? ?? ,)(,112nxfx均同號，,2xxb???? ?? )(2f其中 ．0)(21nf當 時，則 ，且 就是方程) 0)(limli21????nxfx 021limlixxnn???0在 內的那個唯一解． 0(?xf),(ba為 的絕對誤差為 的近似值．)221ji