【正文】 法二） 由于 在 上連續(xù)，因此存在最大值 和最小值 ．即f],[,bad?Mm , ．Mxfm?)(],[dc?因此有 ， ．cf?)(即有 ， ．pfp)( qqm把上面兩個式子相加得到，Mpcffq)()()( ????把以上不等式同時除以 ,又得到p ，qpffm)(由介值定理可得必存在一點 ，使得],[,badc???，)()(?fqpcff??變換一下形式，得到所求，即．)(()(fdfcf （積分第一中值定理）若 在 上連續(xù)，則至少存在一點 ，使得],[ba?],[ba?．)()(fxfba???? 證 由于 在 上連續(xù)，因此存在最大值 和最小值 ．由f],[ Mm, ，xfm?)(],[ba?使用積分不等式性質(zhì)得到 ，?)(b)()(dxfba??或者 ．Mfmba??)(1再由連續(xù)函數(shù)的介值性，至少存在一點 ，使得?],[? ，???badxff)()(在變換一下形式，等式得證． 介值定理在實際問題中的應(yīng)用介值定理在實際問題的解題中具有廣泛的應(yīng)用．往往一些較復(fù)雜的難題應(yīng)用介值定理都能輕易地解決，解題思路清晰，解題步驟簡單．下面我們就舉幾個較復(fù)雜的例題，淺談介值定理在解題中的應(yīng)用． [7] 某運動員30min跑了6km，證明一定存在某時刻，該時刻起的5min內(nèi)該運動員跑了l km．證明 假設(shè) 為離開起跑線的公里數(shù)．對于 中的任意一個 , 表示運動員從x ]5,0[x)(f跑到 所需要的時間．函數(shù) 是連續(xù)函數(shù)．由已知條件知道， x1?)(xf．30)(4)3(21)0( ???fff由此推出 既不同時都小于 5，又不同時都大于 5．所以在 內(nèi)存在點5),.(f ]5,[滿足 ．由介值定理可知，在 之間存在 ，滿足 ．也就是說ba, b?ba,c)(?cf從 km到 km恰好跑了5min， km處對應(yīng)時刻即為所求．c1?c [7] 某登山運動員于星期六上午7:00開始登山，下午5：00到達山的頂點．在山上宿營后，在星期日上午7:00開始返回，下午5：00到達出發(fā)點．證明在星期日的某時刻和星期六的同一時刻在同一高度．證明 假設(shè)時間格式為24制，且星期日的出發(fā)點就是山的頂點．出發(fā)點和山的頂點的高度差為 , 表示運動員在上山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高度，其中)0(?h(tf t, , , 表示運動員在下山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高]17[?t?fh)17)(tgt度，其中 ， , . 表示在星期日的某時][t(0?)()(tgftF?])17,[?刻和星期六的同一時刻運動員所處位置的高度差．因為函數(shù) 、 是連續(xù)的，所以函f(tg數(shù) 也是連續(xù)的 ,且 , .由介值定理可知，在 內(nèi)存在 ，)(tF)7(??hF)17(?h],[0t使 ，即在星期日的 時刻和星期六的同一時，運動員所在高度是相同的．0?0t [7] 椅子在不平的地面能否放穩(wěn)?先作以下假設(shè)：①椅子有四條腿，且每條腿一樣長．每條腿與地面有一個接觸面，可視為一個點，4個點連線成矩形；②地面不平，地面的高度是連續(xù)變化的，不允許有臺階，將地面看作連續(xù)曲面；③椅子在任何位置至少有3個椅腳同時著地；④椅子放穩(wěn)，指四條腿都與地面接觸，每條腿的腳與地面的距離為零．椅子雖然可能會傾斜，但不會搖晃．解 圖2 中 為椅子 4個椅腳的初始位置，椅子的中心是 點，椅子繞中心旋)(aABCDO轉(zhuǎn) 后的位置如圖 2( )所示．記 到地面的距離和為 ， 到地面的距離和為?180bA, )(?fCB,，則由于椅子必有三條腿同時著地，所以必有兩條相鄰的椅腳同時著地，即對任意)(?g的旋轉(zhuǎn)角， 和 至少有一個為零，因此恒有 ，不妨設(shè)當(dāng) 時，)(f?g 0)(?gf 0??．當(dāng)椅子旋轉(zhuǎn) 時， 與 的位置互換，0,)(???180ADBC這樣，當(dāng) 時, ,令 ，則 ．?)(,)(???f )()(?fh?,)(?h)(??( )初始位置a ( )旋轉(zhuǎn)后的位置b因為 和 是連續(xù)函數(shù)，所以 也是連續(xù)函數(shù)，由介值定理可知，在 內(nèi))(?fg)(?h ],0[?必存在 使 ，即 ．又因為恒有 ，所以0?h0)(0???gf 0)(??gf，即 說明當(dāng)椅子繞著中心旋轉(zhuǎn) 方向，椅子的四條腿同)(f時著地．3 介值定理的推廣 一元函數(shù)介值定理的推廣對于介值定理，從兩個方面進行推廣．一方面，從閉區(qū)間 入手，推廣為任意],[ba區(qū)間 ；另一方面，從常數(shù) 與 入手， 與 也可為 或 ．利用推廣的)(afbf)(aff???介值定理，得到了求一類方程絕對誤差為 的近似解的一種好方法．? 推廣介值定理的內(nèi)容 [8]定理1 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且)(xf),[ba、 ，A???xlim)(fB?)A?不論 是 與 之間的怎樣一個數(shù),在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得 ．CAB,cCcf?)(證明 不妨設(shè) ,?圖 21 椅子 4 個椅腳位置示意圖BADCxy DCAByx 因為 ，所以對于給定的正數(shù) ,存在一個正數(shù) ，??bxlim)(fB?CB??0? )(0ab???當(dāng) 時，就有 ．則 ，0??0)(???xf )(?xf,其中 滿足條件 ．現(xiàn)從 中任CBf?)(? 0??b??0?x取一點 ，令 ，顯然 ,以及 ．d)(dfD?DAda又因為 在閉區(qū)間 上連續(xù)，且 、 ．由介值定理得：在開區(qū)x],[aAf?)(Df)(間 內(nèi)至少有一點 ，使 ．所以在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得),(acCf?)( ,bc．Ccf?同理可得定理2：定理2 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且 、 ，)(xf),[baAaf?)(??bxlim)(f??)(?或不論 是 中的怎樣一個數(shù)，在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得,),(）或 （ ???A,c．Ccf?)定理3 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且 、 ,)(xf),[aAaf?)(???xli)(f??)(??或不論 是 中的怎樣一個數(shù)，在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得,),(）或 （ ???A, c．Ccf?)證明 因為 ,???xlim)(f??所以對于給定的正數(shù) ,必有正數(shù) ，使得當(dāng) 時，就CM)(aN?Nx?有 ．)(xf??則 ,其中 滿足條件 ．現(xiàn)從 中任取一點 ，令??xx??xd，顯然 以及 ．由介值定理得：在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，)(dfD?AC?ad?),(ac使得 ．c所以在區(qū)間 內(nèi)至少存在一點 ，使得 ．),(??acCcf?)(同理可得定理4：定理4 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，且 、 ,不)(xf),[??aAaf)(???xlim)(fB?)A?論 是 之間的怎樣一個數(shù)，在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ，使得 ．CBA或 ),(??acCcf?)(以上我們只是討論了區(qū)間 與 這兩種情形．實際上，對于其他區(qū)間也有類),[b似的結(jié)論．這樣，就構(gòu)成了推廣的介值定理． 推廣的介值定理的一個應(yīng)用以推廣的介值定理為基礎(chǔ)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可以得到求一類方程 絕對誤0)(?xf差為 的近似解的一種好方法，其中 的定義域 ，而 在)(?)(xfy?iID?fy內(nèi)單調(diào)連續(xù)，且 與 無公共內(nèi)點．iIiIj)(?定理 5 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上單調(diào)連續(xù)，且 ，而xf],[ba0)(?bfa均同號，112an???? ?? ,)(,112nxfx均同號，,2xxb???? ?? )(2f其中 ．0)(21nf當(dāng) 時，則 ，且 就是方程) 0)(limli21????nxfx 021limlixxnn???0在 內(nèi)的那個唯一解． 0(?xf),(ba為 的絕對誤差為 的近似值．)221ji