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介值定理及其應(yīng)用本科畢業(yè)論文-在線瀏覽

2024-08-07 17:24本頁面
  

【正文】 法二) 由于 在 上連續(xù),因此存在最大值 和最小值 .即f],[,bad?Mm , .Mxfm?)(],[dc?因此有 , .cf?)(即有 , .pfp)( qqm把上面兩個式子相加得到,Mpcffq)()()( ????把以上不等式同時除以 ,又得到p ,qpffm)(由介值定理可得必存在一點 ,使得],[,badc???,)()(?fqpcff??變換一下形式,得到所求,即.)(()(fdfcf (積分第一中值定理)若 在 上連續(xù),則至少存在一點 ,使得],[ba?],[ba?.)()(fxfba???? 證 由于 在 上連續(xù),因此存在最大值 和最小值 .由f],[ Mm, ,xfm?)(],[ba?使用積分不等式性質(zhì)得到 ,?)(b)()(dxfba??或者 .Mfmba??)(1再由連續(xù)函數(shù)的介值性,至少存在一點 ,使得?],[? ,???badxff)()(在變換一下形式,等式得證. 介值定理在實際問題中的應(yīng)用介值定理在實際問題的解題中具有廣泛的應(yīng)用.往往一些較復(fù)雜的難題應(yīng)用介值定理都能輕易地解決,解題思路清晰,解題步驟簡單.下面我們就舉幾個較復(fù)雜的例題,淺談介值定理在解題中的應(yīng)用. [7] 某運動員30min跑了6km,證明一定存在某時刻,該時刻起的5min內(nèi)該運動員跑了l km.證明 假設(shè) 為離開起跑線的公里數(shù).對于 中的任意一個 , 表示運動員從x ]5,0[x)(f跑到 所需要的時間.函數(shù) 是連續(xù)函數(shù).由已知條件知道, x1?)(xf.30)(4)3(21)0( ???fff由此推出 既不同時都小于 5,又不同時都大于 5.所以在 內(nèi)存在點5),.(f ]5,[滿足 .由介值定理可知,在 之間存在 ,滿足 .也就是說ba, b?ba,c)(?cf從 km到 km恰好跑了5min, km處對應(yīng)時刻即為所求.c1?c [7] 某登山運動員于星期六上午7:00開始登山,下午5:00到達山的頂點.在山上宿營后,在星期日上午7:00開始返回,下午5:00到達出發(fā)點.證明在星期日的某時刻和星期六的同一時刻在同一高度.證明 假設(shè)時間格式為24制,且星期日的出發(fā)點就是山的頂點.出發(fā)點和山的頂點的高度差為 , 表示運動員在上山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高度,其中)0(?h(tf t, , , 表示運動員在下山過程中在 時刻的位置離出發(fā)點的高]17[?t?fh)17)(tgt度,其中 , , . 表示在星期日的某時][t(0?)()(tgftF?])17,[?刻和星期六的同一時刻運動員所處位置的高度差.因為函數(shù) 、 是連續(xù)的,所以函f(tg數(shù) 也是連續(xù)的 ,且 , .由介值定理可知,在 內(nèi)存在 ,)(tF)7(??hF)17(?h],[0t使 ,即在星期日的 時刻和星期六的同一時,運動員所在高度是相同的.0?0t [7] 椅子在不平的地面能否放穩(wěn)?先作以下假設(shè):①椅子有四條腿,且每條腿一樣長.每條腿與地面有一個接觸面,可視為一個點,4個點連線成矩形;②地面不平,地面的高度是連續(xù)變化的,不允許有臺階,將地面看作連續(xù)曲面;③椅子在任何位置至少有3個椅腳同時著地;④椅子放穩(wěn),指四條腿都與地面接觸,每條腿的腳與地面的距離為零.椅子雖然可能會傾斜,但不會搖晃.解 圖2 中 為椅子 4個椅腳的初始位置,椅子的中心是 點,椅子繞中心旋)(aABCDO轉(zhuǎn) 后的位置如圖 2( )所示.記 到地面的距離和為 , 到地面的距離和為?180bA, )(?fCB,,則由于椅子必有三條腿同時著地,所以必有兩條相鄰的椅腳同時著地,即對任意)(?g的旋轉(zhuǎn)角, 和 至少有一個為零,因此恒有 ,不妨設(shè)當(dāng) 時,)(f?g 0)(?gf 0??.當(dāng)椅子旋轉(zhuǎn) 時, 與 的位置互換,0,)(???180ADBC這樣,當(dāng) 時, ,令 ,則 .?)(,)(???f )()(?fh?,)(?h)(??( )初始位置a ( )旋轉(zhuǎn)后的位置b因為 和 是連續(xù)函數(shù),所以 也是連續(xù)函數(shù),由介值定理可知,在 內(nèi))(?fg)(?h ],0[?必存在 使 ,即 .又因為恒有 ,所以0?h0)(0???gf 0)(??gf,即 說明當(dāng)椅子繞著中心旋轉(zhuǎn) 方向,椅子的四條腿同)(f時著地.3 介值定理的推廣 一元函數(shù)介值定理的推廣對于介值定理,從兩個方面進行推廣.一方面,從閉區(qū)間 入手,推廣為任意],[ba區(qū)間 ;另一方面,從常數(shù) 與 入手, 與 也可為 或 .利用推廣的)(afbf)(aff???介值定理,得到了求一類方程絕對誤差為 的近似解的一種好方法.? 推廣介值定理的內(nèi)容 [8]定理1 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù),且)(xf),[ba、 ,A???xlim)(fB?)A?不論 是 與 之間的怎樣一個數(shù),在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,使得 .CAB,cCcf?)(證明 不妨設(shè) ,?圖 21 椅子 4 個椅腳位置示意圖BADCxy DCAByx 因為 ,所以對于給定的正數(shù) ,存在一個正數(shù) ,??bxlim)(fB?CB??0? )(0ab???當(dāng) 時,就有 .則 ,0??0)(???xf )(?xf,其中 滿足條件 .現(xiàn)從 中任CBf?)(? 0??b??0?x取一點 ,令 ,顯然 ,以及 .d)(dfD?DAda又因為 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 、 .由介值定理得:在開區(qū)x],[aAf?)(Df)(間 內(nèi)至少有一點 ,使 .所以在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,使得),(acCf?)( ,bc.Ccf?同理可得定理2:定理2 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù),且 、 ,)(xf),[baAaf?)(??bxlim)(f??)(?或不論 是 中的怎樣一個數(shù),在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,使得,),()或 ( ???A,c.Ccf?)定理3 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù),且 、 ,)(xf),[aAaf?)(???xli)(f??)(??或不論 是 中的怎樣一個數(shù),在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,使得,),()或 ( ???A, c.Ccf?)證明 因為 ,???xlim)(f??所以對于給定的正數(shù) ,必有正數(shù) ,使得當(dāng) 時,就CM)(aN?Nx?有 .)(xf??則 ,其中 滿足條件 .現(xiàn)從 中任取一點 ,令??xx??xd,顯然 以及 .由介值定理得:在開區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,)(dfD?AC?ad?),(ac使得 .c所以在區(qū)間 內(nèi)至少存在一點 ,使得 .),(??acCcf?)(同理可得定理4:定理4 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù),且 、 ,不)(xf),[??aAaf)(???xlim)(fB?)A?論 是 之間的怎樣一個數(shù),在區(qū)間 內(nèi)至少有一點 ,使得 .CBA或 ),(??acCcf?)(以上我們只是討論了區(qū)間 與 這兩種情形.實際上,對于其他區(qū)間也有類),[b似的結(jié)論.這樣,就構(gòu)成了推廣的介值定理. 推廣的介值定理的一個應(yīng)用以推廣的介值定理為基礎(chǔ),結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,可以得到求一類方程 絕對誤0)(?xf差為 的近似解的一種好方法,其中 的定義域 ,而 在)(?)(xfy?iID?fy內(nèi)單調(diào)連續(xù),且 與 無公共內(nèi)點.iIiIj)(?定理 5 如果函數(shù) 在閉區(qū)間 上單調(diào)連續(xù),且 ,而xf],[ba0)(?bfa均同號,112an???? ?? ,)(,112nxfx均同號,,2xxb???? ?? )(2f其中 .0)(21nf當(dāng) 時,則 ,且 就是方程) 0)(limli21????nxfx 021limlixxnn???0在 內(nèi)的那個唯一解. 0(?xf),(ba為 的絕對誤差為 的近似值.)221ji
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