非齊次常系數(shù)線性微分方程的特殊解法論文-在線瀏覽
2024-08-07 17:09本頁(yè)面
【正文】 程的過程得到了有效的簡(jiǎn)化.關(guān)鍵詞：非齊次；常系數(shù)；線性；解法 言線性微分方程在常微分方程學(xué)中占有一定的地位，其中，蘇格蘭數(shù)學(xué)家耐普爾創(chuàng)立對(duì)數(shù)的時(shí)候，就討論過微分方程的近似解。牛頓在建立微積分的同時(shí)，對(duì)簡(jiǎn)單的微分方程用級(jí)數(shù)來求解。求通解在歷史上曾作為微分方程的主要目標(biāo)，一旦求出通解的表達(dá)式，就容易從中得到問題所需要的特解。為了求解非齊常系數(shù)線性微分方程，首先要求方程的特解，這里給出求特解的一種方法升階法。最后一個(gè)方程的一個(gè)明顯解（不妨設(shè)時(shí)情況類似）是：此時(shí)。上面這種方法稱為升階法。證明：將代人方程的左端， 得證。(其中是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式) 證明：把代人方程有：所以；(方程的兩端實(shí)部、虛部相同) 得證。在上式中將換為次多項(xiàng)式，得，由此有因?yàn)?，以及，所以有，由此得，?）式成立。對(duì)階常系數(shù)非齊線性微分方程，其中為常數(shù)，可以是復(fù)常數(shù)。由引理1。將在處利用公式展開，得。 （10）而為次多項(xiàng)式，以及為常數(shù)，所以當(dāng)為多項(xiàng)式時(shí)，也是次多項(xiàng)式。因?yàn)椋?。?dāng)為的與重根時(shí)，不需經(jīng)（9）式確定待定系數(shù)而直接得到方程（7）的通解。對(duì)積分次再乘以得（11）式。設(shè)方程（7）的通解為，與定理1一樣證明，知由（10）式確定。由定理2得，注意，兩邊積分次得再乘以得（12）式。推論1 對(duì)階微分方程，若為的重根，則特解為。由此解出后積分次，再乘以得到（13）式。定理5 記為虛數(shù)單位。 （14）證明： 若為的根，則，所以。由定理2的（12）式取得的特解為（14）式，由此得結(jié)論。于是當(dāng)時(shí)，將代入方程（1）便得。最后我們便得到（1）再的變換下的形式命題的建立說明要求解方程
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