[理學]167442二階常系數(shù)線性微分方程-在線瀏覽
2025-03-08 14:43本頁面
【正文】 )()( )22()22(?????? ????.)()( )()( xixi exPexP ?????? ??]s i n )( ) c o s([)( .2 xxPxxPexf nmx ???? ?對于 中的)( xf 第一項xiexP)()(???，可求出一個 次多 L )( xQL項式 ，使得 xiLkeQxy)(1????? 為方程xiexPcyybya)()(????????? 的特解，而 ??? ik 按 不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取 0 或 1 。綜上所述， 方程 xm exPcyybya ??????? )(具有如下形式的特解： xmk exQxy ?? ? )( 。 其中 )( )( xPxQ mm 是與 同次但系數(shù)待定的多項式， ?按k 不是特征方程的根、是單根或二重根依次 取 0 ， 1 或 2 。 ,)()()( )()( xixi exPexPxf ?????? ??其中 iPPiPPxP nmnm2222)( ???? ， iPPiPPxP nmnm2222)( ???? ， 是互成共軛的 次多項式 L （即它們的對應項系數(shù)是共軛 復數(shù)），而 },m a x { nmL ? 。 二階常系數(shù)非齊次線性方程特解的解法 )( xpe mx?]s i n)( c os)([xxPxxPenmx????不是特征方程的根? )1()( xf自由項 ??????? yxfcyybya )( 的特解方程是特征方程的單根? )2(是特征方程的重根? )3(xm exQy ?? ? )(xm exQxy ?? ? )( xm exQxy ?? ? )( 2不是特征方程的根 βα )1( i?是特征方程的根 βα )2( i?]s i n)( c o s)([)2()1(xxRxxReyLLx???? ??]s i n)( c o s)([)2()1(xxRxxRxeyLLx???? ??},m a x { nmL ?其中例 1 ．求方程 3265 ??????? xyyy 的特解。 例 2 ．求方程 xeyy 24 ????? 的通解。 ∵ xexf 2)( ?? ，屬 xm exPxf ?? )()( 型 ( 2 ,0 ????m ) ， 而 2??? 是特征根， ∴設 xA xey 2?? ? ，代入原方程解得 41??A ， 故原方程的通解為 xxx xeeCeCyYy 22221 41 ??? ????? 。 ∴對應的 齊次方程的通解為 )( 21 xCCeY x ?? 。 代入原方程，有 xx xeeAxA ?? )26( 1? ，解之得 61??A ， 01 ?A 。 xxxexAxAexAxAeAxAy)( )46()26()(213121???????????? ， 例 4 ．求方程 xeyyy x 2c os3 ?????? 的一個特解。 ???????010110CDCD?????????10110 1011DC， 代入原方程有 xxCDxCD 2c os2s i n)10(2c os)10( ???? ， 比較兩端 xx 2s i n2c o s 與 的系數(shù)，得 例 5 ．求方程 xyy s i n???? 的通解。 ∴對應齊次方程的通解為 xCxCY s i nc o s 21 ?? 。 代入原方程有 xxDxC s i nc os2s i n2 ??? ， 比較兩端 xx c o ss i n 與 的系數(shù)，得21??C ， 0?D 。
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