【正文】 進行數(shù)字濾波器的仿真設計。我們可以得出第一類線性相位濾波器可以用于實現(xiàn)低通、高通、帶通和帶阻等各種濾波特性；通過數(shù)據(jù)和圖形分析得出在相同的濾波器抽樣響應長度下，如果在一個頻帶內(nèi)賦予了大的加權，那么這個頻帶內(nèi)將獲得大的衰減。21 數(shù)字濾波器的簡介 數(shù)字濾波器的介紹數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應（IIR）濾波器和有限長沖激響應（FIR）濾波器。FIR 系統(tǒng)有自己突出的優(yōu)點：系統(tǒng)總是穩(wěn)定的，易實現(xiàn)線性相位，允許設計多通帶（或多阻帶）濾波器，后兩項都是 IIR 系統(tǒng)不易實現(xiàn)的。隨著 MATLAB 軟件尤其是 MATLAB 的信號處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計算機輔助設計有了可能，而且還可以使設計實現(xiàn)最優(yōu)化。 IIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是兩個 Z 的多項式的有理分式，而 FIR 濾波器的分母為 1，即只有一個分子多項式。在 0 到 的全部頻段上，其幅值為?1 的區(qū)域為通帶，其余為阻帶，即其幅值為 0。3圖 11 理想幅頻特性有些情況下，還對濾波器的相位特性提出要求，理想的是線性相位特性，即相移與頻率成線性關系。低通濾波器在[0， ]的通帶區(qū)，幅頻特性會在 1 附近波動 ；在 ～1 的pw1??sw阻帶區(qū)，幅頻特性不會真等于零是一個大于零的 值；在[ , ]之間，為過渡2?ps區(qū)；這三個與理想特性的不同點就構成了濾波器的指標體系。sw1?2在許多情況下，人們習慣用分貝為單位，定義通帶波動為 （分貝）阻帶衰減pR為 （分貝） 。pw1p2 sw??12,s其他復雜形狀的預期特性通常也可由若干理想的幅頻特性疊合構成。01log0,1log202??????????????????????sp R4 數(shù)字濾波器的設計(1) 確定技術指標 在設計一個濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標。因此指標的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應。第一種是絕對指標。第二種指標是相對指標。(2) 逼近 確定了技術指標后，就可以建立一個目標的數(shù)字濾波器模型（通常采用理想的數(shù)字濾波器模型） 。 (3) 性能分析和計算機仿真 上兩步的結(jié)果是得到以誤差或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應描述的濾波器。 數(shù)字濾波器的設計過程（1）按照實際需要，確定濾波器的性能要求。通帶截止頻率在通帶內(nèi)幅度響應以 的誤差接近于 1，即1??（12）為阻帶起始頻率，在阻帶內(nèi)幅度響應小于 的誤差接近于零，即s?2? （12()jHe???s???3） c?1()jHe????5為了使逼近理想低通濾波器的方法成為可能，還必須提供一寬度為 的不為零sc??的過濾頻帶。這里 （ ）指的是數(shù)字域頻率，或者說 是沿單位圓周的相角變化。（2）尋找滿足預定性能要求的離散時間線性系統(tǒng)。1z?FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)是 的多項式。（3）用有限精度的運算來實現(xiàn)設計的系統(tǒng)。（4）通過模擬，驗證所設計的系統(tǒng)是否符合給定性能要求。 數(shù)字濾波器的設計方法設計 FIR 數(shù)字濾波器的基本方法有窗函數(shù)法、頻率取樣法和等波動最佳逼近法，這些方法主要是針對選頻型濾波器（低通、高通、帶通和帶阻濾波器）的設計，這種濾波器的設計指標是類似的，典型的指標為通帶波動和阻帶衰減。數(shù)字濾波器的設計方法很多，大多數(shù)方法都在計算的復雜性和滿足設計濾波器的指標兩個問題間取得折衷。62 FIR 數(shù)字濾波器 FIR 濾波器的基本結(jié)構在討論任何一種濾波器時，都要著重分析其系統(tǒng)函數(shù)，F(xiàn)IR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： 。FIR 濾波器基本分為以下幾種類型(1) 橫截型（卷積型、直接型）a) 一般 FIR 濾波器的橫截型(直接型、卷積型)結(jié)構：若給定差分方程為： 。 FIR 濾波器的橫截型結(jié)構若 h(n)呈現(xiàn)對稱特性，即此 FIR 濾波器具有線性相位，則可以簡化成橫截型結(jié)構，下面分情況討論：① N 為奇數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構如圖 22 所示：7圖 22 奇數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構如圖② N 為偶數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構如圖 23 所示圖 23 偶數(shù)時線性相位 FIR 濾波器實現(xiàn)結(jié)構圖我們知道 IIR 濾波器的優(yōu)點是可利用模擬濾波器設計的結(jié)果，缺點是相位是非線性的，若需要線性相位，則要用全通網(wǎng)絡進行校正，比較麻煩，而 FIR 濾波器的優(yōu)點是可以方便地實現(xiàn)線性相位。分析 H(z)及結(jié)構圖可以得出級聯(lián)型的特點：①每個基本節(jié)控制一對零點，便于控制濾波器的傳輸零點。(3) 頻率取樣型 若 FIR 濾波器的沖激響應為有限長(N 點)序列 h(n)，則有如圖 25 所示的關系：圖 25 FIR 濾波器的沖激響應為有限長序列關系圖因此，對 h(n)可以利用 DFT 得到 H(k)，然后利用內(nèi)插公式： 來表示系統(tǒng)函數(shù)，這就為 FIR 濾波器提供了另外一種結(jié)構：頻率抽樣結(jié)構其中級聯(lián)的第一部分為： 這是一個梳狀濾波器，它濾掉了頻率 及其各次諧波。FIR 濾波器的頻率抽樣結(jié)構如圖 26 所示：9圖 26 FIR 濾波器的頻率抽樣結(jié)構如圖頻率抽樣結(jié)構的特點是它的系數(shù) H(k)就是濾波器在 處的響應，因此控制濾波器的頻率響應很方便。(4) 快速卷積結(jié)構若 FIR 濾波器的單位沖激響應 h(n)是一個 N1 點有限長序列，輸入 x(n)是一個N2 點有限長序列，那么輸出 y(n)是 x(n)與 h(n)的線性卷積，它是一個 L＝N1+N21點的有限長序列。而圓周卷積可以用 DFT 和 IDFT 的方法來計算，這樣我們得到 FIR 濾波器的快速卷積結(jié)構：圖 27 FIR 濾波器的快速卷積結(jié)構圖這里 DFT 和 IDFT 都將采用快速傅里葉變換算法，當 N1 和 N2 足夠長時，比直接計算線性卷積要快得多。等波紋最大誤差最小化準則就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權函數(shù)，實現(xiàn)在不同頻段（通常指的是通帶和阻帶）的加權誤差最大值相同，從而實現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標的條件下達到最小值。盡管如此，F(xiàn)IR 的頻率響應依然可以采用如下的統(tǒng)一形式來表示： (22) (1)2()()jjNjkdHeeH?????其中： 為幅度函數(shù)，它是一個可正可負的純實數(shù)。將(2) 式帶入(3)式并令：H?()(),()dd???經(jīng)推導可得： （2()()EWHP???????????5）（24）公式也是最終的加權切比雪夫逼近誤差函數(shù)公式。在此定義該最小值表達式為：()E? （2minax()jEe??????6）A 為實行逼近的頻帶。如果數(shù)字濾波器的相位響應滿()H?足條件，那么稱該數(shù)字濾波器是線性相位。如果 是正數(shù)，那么該系統(tǒng)延遲信號；否則就是一個超前??系統(tǒng)，此時相位是頻率的線性方程，可以歸為 的形式，其中斜率為 ，ymxb????截距 。同樣 , 如果 ，那么2?0rad? 00???對應的延遲時間為 ，可見延遲時間和頻率無關。這意味著濾波后的輸出只是輸入信號的一個簡單的延遲信號。如果系統(tǒng)的頻率響應為 .那么其幅值響應是 1,相位響應是()jHE????,表明是線性相位的。(,)??下面考慮給出了頻率響應的情況，給定 （3()()jHeG????1）式中 是實數(shù)。如果 。如果 ，相位 ，那么這種情況下，延遲時()0??????間和頻率是有關的。但是可以將上面的式子寫成 。但是如果 會改變符號，那么波紋就可能失真。所以信號通過一個頻率響應系統(tǒng)時，通帶內(nèi)信號沒有產(chǎn)生任何失真。這里順便要指出的是模擬濾波器不可能有線性相位特性，只可能在很小的一個頻帶內(nèi)近似地認為是線性相位。如前所述，F(xiàn)IR 濾波器肯定是穩(wěn)定的。雖然如此，但是 IIR 也有比 FIR 優(yōu)越的方面，那就是當 IIR 濾波器和 FIR 濾波器具有相同幅值響應時，前者所有的系數(shù)少很多。以下表明濾波器的線性相位特性可以通過濾波器系數(shù)成偶數(shù)對稱或奇數(shù)對稱的。())hnMn?令 ，此時就有六個系數(shù)，假設這些系數(shù)是偶數(shù)對稱的，如下面關系式，5?其中 所以其脈沖響應關于點 n 對稱。 （32）5205()cosjiehi????????????31(1)s2()cosj h??55 122 2(0) )jjjjjjjeeee??????????????????????????2345()()()(0)jjjjj??2jjjjjHh????????14對于 M 為奇數(shù)的一般情況，有以下結(jié)論：（M 是奇數(shù)，系數(shù)偶對稱）FIR? （3120()()cos2MjiHehi????????????3）注意到求和號后每項都是實數(shù)，所以式（33）和（32）具有相同形式，所以 FIR1濾波器是線性相位的。此時的頻率響應變?yōu)?M?23456()0(1)()()()()()jjjjjjHheheheh????????????????210jjjjjj33()[](1)[]()[]j jjjjjjeeee?????????2(0cos)coscosjhhh??? （330()(3jiei?????4）（M 為偶數(shù)，奇數(shù)偶對稱）FIR? （35）那么當奇數(shù)奇對稱時，對于 ，假設系數(shù)如圖所示，此時符號發(fā)生改變，5M?這導致了分子中的余弦函數(shù)被替代。對于 ，通用公式應該為6? （37） FIRIII 和 FIRIV 濾波器和等式的形式不同，所以不是線性相位的。相應響應的濾波器常常稱為廣泛線性相位。廣泛0???線性相位濾波器在許多場合有廣泛應用，包括窄帶濾波器以及通訊信號的解調(diào)。誤差容限設計低通濾波器，要求在頻