【正文】 多非線性系統(tǒng)都可化簡(jiǎn)為線性系統(tǒng)的疊加[3][4]。LTI系統(tǒng)作為傅里葉分析中的基本系統(tǒng)對(duì)傅里葉變換的研究具有重要意義。 時(shí)域離散系統(tǒng)Figure Discrete timedomain system 線性系統(tǒng) 線性即為線性疊加，它包含可加性和齊次性。把定義一個(gè)線性系統(tǒng)的兩個(gè)性質(zhì)結(jié)合起來，可以簡(jiǎn)單地寫成： （） 式中和為任意常數(shù)。 時(shí)不變系統(tǒng) 對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)的描述可以用輸入時(shí)移，輸出產(chǎn)生同樣的時(shí)移來描述，換句話說就是系統(tǒng)的特性行為不隨時(shí)間而變。 同時(shí)滿足線性和時(shí)不變的系統(tǒng)便是線性時(shí)不變系統(tǒng)，它是信號(hào)分析里最為基礎(chǔ)的系統(tǒng)。這里也通過卷積的推導(dǎo)過程來加深對(duì)LTI系統(tǒng)的了解。即： （） 對(duì)于線性系統(tǒng)，若記為移位單位脈沖的響應(yīng)，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性和齊次性，線性系統(tǒng)的輸出可表示為 （） 若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則與之間存在一定的關(guān)系，即： （） 定義系統(tǒng)的單位脈沖序列響應(yīng)，表示是LTI系統(tǒng)當(dāng)輸入為時(shí)的輸出。結(jié)合（）與（）式，得： （） 定義（）式為卷積運(yùn)算，用符號(hào)記作： （） 所以，綜上，可以通俗的表述為：對(duì)于LTI系統(tǒng)，在已知系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的情況下，可直接通過計(jì)算系統(tǒng)輸入與的卷積，便能得出系統(tǒng)輸出。根據(jù)卷積定理可得，對(duì)于LTI系統(tǒng)，若、和分別是系統(tǒng)輸入序列、系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)和系統(tǒng)輸出的離散時(shí)間傅里葉變換。該方法中，將兩個(gè)信號(hào)的卷積轉(zhuǎn)化為它們的傅里葉變換相乘這種簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算，這一點(diǎn)既方便與信號(hào)與系統(tǒng)的分析，又大大深化了一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)施加于它的輸入信號(hào)響應(yīng)這一問題的理解。在滿足一定條件下可借助計(jì)算機(jī)，用計(jì)算循環(huán)卷積的方式計(jì)算線性卷積。用式子分別表示為： （） 掌握這幾種性質(zhì)與利于加深對(duì)LTI系統(tǒng)的了解。 LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)傅里葉變換的實(shí)質(zhì)就是將信號(hào)分解為不同頻率復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加，而LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)有著怎樣的響應(yīng)特性呢？這是本節(jié)討論的內(nèi)容。由卷積和可以確定系統(tǒng)輸出為： （） 觀察式（）發(fā)現(xiàn)：一個(gè)LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)也是同樣一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào)。稱為該LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，即為單位脈沖響應(yīng)的Z變換。由上述討論得，LTI系統(tǒng)對(duì)復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)有一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，即復(fù)指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)其響應(yīng)仍是相同頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的只是幅度上的變?cè)抂8]。也基于此，在信號(hào)分析中我們更樂于將信號(hào)分解為不同頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加（傅里葉變換）而不是分解其他形式的級(jí)數(shù)。因?yàn)楦道锶~變換的內(nèi)容簡(jiǎn)言之就是對(duì)于各種不同類型信號(hào)，如何將它表示成復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加。關(guān)于為什么能夠這樣表示？這是純粹的數(shù)學(xué)問題，本文不做詳細(xì)介紹，但會(huì)簡(jiǎn)要介紹收斂條件。且隨著理論研究的不斷深入，傅里葉變換所涉及的內(nèi)容也將不斷延伸。例如，連續(xù)時(shí)間的周期信號(hào)通常用傅里葉級(jí)數(shù)（FS）表示，但引入沖擊函數(shù)后連續(xù)周期信號(hào)同樣可以用傅里葉變換（FT）表示。例如，連續(xù)時(shí)間信號(hào)的脈沖采樣信號(hào)，其連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）是原信號(hào)FT的周期性延拓。 連續(xù)與離散在很多應(yīng)用中，在對(duì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)進(jìn)行信號(hào)處理時(shí)，通常將連續(xù)時(shí)間信號(hào)轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間信號(hào)，用離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)換后的離散信號(hào)進(jìn)行信號(hào)處理后再轉(zhuǎn)換為連續(xù)信號(hào)。，其中和都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，而和都是對(duì)應(yīng)于和的離散時(shí)間信號(hào)。 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理Figure The discretization of continuous time signal processing。在下文中為了加深對(duì)傅里葉變換的認(rèn)識(shí)我們將具體介紹這種處理過程。它與連續(xù)時(shí)間信號(hào)是兩種不同類型的信號(hào)，但是當(dāng)離散時(shí)間序列是由連續(xù)時(shí)間信號(hào)等間隔采樣得到時(shí)，它們之間具有一定的聯(lián)系[11]。通常也通過（）式建立連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間的聯(lián)系。所以在涉及傅里葉變換時(shí)，我們更關(guān)注的是連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)和離散時(shí)間復(fù)指數(shù)序列及它們間的關(guān)系。一種重要的復(fù)指數(shù)信號(hào)是將限制為純虛數(shù)，特別考慮如下信號(hào)： （） 利用歐拉公式，（）式復(fù)指數(shù)信號(hào)可以用正弦信號(hào)來表示，即： （） 容易求得，對(duì)于任意，復(fù)指數(shù)信號(hào)為周期信號(hào)，基波周期 離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)具有如下形式： （） 這里和一般均為復(fù)數(shù)。所以我們?cè)谟懻撾x散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)時(shí)，僅需考慮某一間隔內(nèi)的信號(hào)就已足夠。連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是以的周期信號(hào)，離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是否具有同樣的周期性呢？我們?cè)O(shè)： N為周期，N0。所以若為一有理數(shù)，就是周期信號(hào)，否則就不是周期的。 若離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是有連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)等間隔采樣得到，則二者之間將存在一定聯(lián)系。通過（）式的推導(dǎo)，得到，在對(duì)連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)的等間隔采樣下得到的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，其模擬角頻率與數(shù)字頻率之間的關(guān)系為： （） 在下文中介紹FT與DTFT的關(guān)系時(shí)，尺度變換過程就是該關(guān)系式的體現(xiàn)。所謂諧波關(guān)系就是一類信號(hào)的集合，集合內(nèi)所有信號(hào)都有一個(gè)公共周期。對(duì)于離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)而言，設(shè)公共周期為N，那么成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示成： （） 由于（）式的原因： （） 故離散時(shí)間情況下與連續(xù)時(shí)間有一點(diǎn)很大的不同是：成諧波關(guān)系的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)僅有N個(gè)互不相同的。式中系數(shù)往往稱為傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)，它可由信號(hào)確定： 連續(xù)： （） 離散： （) 對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，存在一個(gè)收斂問題，我們有如下結(jié)論：對(duì)于連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)，在滿足狄里赫利條件[2]下，除了在某些不連續(xù)的孤立t值外，等于它的傅里葉級(jí)數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點(diǎn)上，無窮級(jí)數(shù)收斂于不連續(xù)點(diǎn)兩邊值的平均值。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）與離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT） 由于傅里葉級(jí)數(shù)只能對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行表示，為了對(duì)非周期信號(hào)進(jìn)行推廣，我們?cè)谥芷谛盘?hào)傅里葉級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上引入連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）和離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換 為了對(duì)非周期信號(hào)引入傅里葉變換，我們將非周期信號(hào)看成是周期無限大的周期信號(hào)，觀察周期無限大周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式的極限特性。 為非周期信號(hào)；為由為一個(gè)周期構(gòu)成的周期信號(hào)Figure (a) Nonperiodic signal。通常稱為的頻譜，它告訴我們將表示成不同頻率正弦信號(hào)的線性組合（就是積分）所需要的信息。 當(dāng)然，由于連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是由周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)推導(dǎo)而來，故也存在與傅里葉級(jí)數(shù)表示相同的收斂問題，我們有如下結(jié)論：一個(gè)穩(wěn)定的LTI系統(tǒng)就有與之對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)。 以上討論的是非周期信號(hào)的傅里葉變換，其實(shí)在引入奇異函數(shù)后對(duì)于周期信號(hào)也能夠建立傅里葉變換表示，這樣一來就可以在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)考慮周期信號(hào)與非周期信號(hào)。 離散時(shí)間傅里葉變換 對(duì)于離散時(shí)間非周期序列，為了建立它的傅里葉變換表示，可以用與連續(xù)時(shí)間傅里葉變換完全類似的方法進(jìn)行討論。對(duì)信號(hào)進(jìn)行周期性擴(kuò)展，擴(kuò)展周期為N，建立周期信號(hào)。 我們討論的傅里葉級(jí)數(shù)，將（）式和（）式重寫，有： （） （） 式中，因?yàn)樵诎▍^(qū)間的一個(gè)周期上，所以（）可寫成： （） 對(duì)于不同的周期N，的包絡(luò)不變，定義的包絡(luò)為： （） 可見，頻譜系數(shù)正比于的各個(gè)樣本，即： （） 當(dāng)周期時(shí)，趨近于，對(duì)于任何有限的n值，有，所以結(jié)合（）可得： （） 經(jīng)過與連續(xù)時(shí)間情況完全并行的推導(dǎo)，我們得到離散時(shí)間非周期信號(hào)的傅里葉變換，將（）式和（）式稱為離散時(shí)間傅里葉變換對(duì)。當(dāng)然我們會(huì)發(fā)現(xiàn)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與離散時(shí)間傅里葉變換之間一個(gè)明顯的不同就是，離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換是以為周期的，而連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換不具備這種周期性。 離散時(shí)間信號(hào)的傅里葉變換也存在關(guān)于收斂的問題，這是由于（）式信號(hào)的傅里葉變換的求和區(qū)間是無限長所致。 關(guān)于周期序列的傅里葉變換，因?yàn)椋? （） 而一周期為N的周期序列可表示為： （） 故該周期序列的傅里葉變換為： （） 這樣，一個(gè)周期序列的傅里葉變換就表示成頻域中的沖擊串，若知道該周期序列的傅里葉系數(shù)便可直接求出其傅里葉變換。 連續(xù)時(shí)間傅里葉變換與離散時(shí)間傅里葉變換之間的關(guān)系 ，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中我們也常會(huì)碰到連續(xù)、離散相互轉(zhuǎn)換的系統(tǒng)，即混合系統(tǒng)。重寫如下： （） 我們關(guān)心的是連續(xù)信號(hào)的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換（FT）與離散信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）之間的關(guān)系。 式（）實(shí)際上所反映的就