【正文】 ，而是為減少DFT計算次數(shù)的一種快速有效的算法[19]。 DITFFT算法與直接計算DFT所需復數(shù)乘法次數(shù)的比較曲線Figure The parison curve of plex multiplications required for DITFFT algorithm and direct DFT calculation ，在圖中我們能直觀的看出FFT算法的優(yōu)越性。拉普拉斯變換是連續(xù)時間信號傅里葉變換的推廣，Z變換是離散時間信號離散時間傅里葉變換的推廣，引入拉普拉斯變換和Z變換可將傅里葉分析推廣到更廣泛的信號，并都有其特定的分析理論和方法。 蝶形運算符號Figure The butterfly putation symbols 采樣這種圖示法，經(jīng)過一次奇偶抽取分解后，圖中，N=8，由（）式給出，而則由（）式給出。 快速傅里葉變換FFT 有限長序列的N點DFT為： （）根據(jù)定義式發(fā)現(xiàn)計算N點的DFT需要進行次復數(shù)乘法和次復數(shù)加法運算，當N較大時，計算量太大。（）式說明了循環(huán)卷積與線性卷積之間的關系，在的情況下，循環(huán)卷積等于線性卷積。 循環(huán)卷積 在DFT中有個及其重要的概念：循環(huán)卷積，并有循環(huán)卷積定理[17]。于是有： （） （） 將（）式和（）式稱為一對DFS，、都以N為周期且都為離散序列。所以在應用中通常用序列的抽取序列來替代。 采樣定理各信號間的對應關系Figure The corresponding relationship between the signals of the sampling theorem 是從沖擊到序列的轉(zhuǎn)換，它們間傅里葉變換的對應關系可以用尺度變換表示，或者說是歸一化的過程。對信號進行周期性擴展，擴展周期為N，建立周期信號。式中系數(shù)往往稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)或頻譜系數(shù)，它可由信號確定： 連續(xù)： （） 離散： （) 對于連續(xù)時間周期信號，存在一個收斂問題，我們有如下結(jié)論：對于連續(xù)時間周期信號，在滿足狄里赫利條件[2]下，除了在某些不連續(xù)的孤立t值外，等于它的傅里葉級數(shù)表示；而在那些不連續(xù)的點上，無窮級數(shù)收斂于不連續(xù)點兩邊值的平均值。一種重要的復指數(shù)信號是將限制為純虛數(shù)，特別考慮如下信號： （） 利用歐拉公式，（）式復指數(shù)信號可以用正弦信號來表示，即： （） 容易求得，對于任意，復指數(shù)信號為周期信號，基波周期 離散時間復指數(shù)信號具有如下形式： （） 這里和一般均為復數(shù)。例如，連續(xù)時間信號的脈沖采樣信號，其連續(xù)時間傅里葉變換（FT）是原信號FT的周期性延拓。由卷積和可以確定系統(tǒng)輸出為： （） 觀察式（）發(fā)現(xiàn)：一個LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應也是同樣一個復指數(shù)信號。這里也通過卷積的推導過程來加深對LTI系統(tǒng)的了解。本章介紹了DFT的引入和其基本內(nèi)容，它的物理意義是對信號傅里葉變換的有限取樣。然而，也正是由于理論的拓展我們往往很容易就混淆與各種不同的概念之間也很難把握各種傅里葉變換之間的關系。關于傅里葉分析方法的建立有過一段漫長的歷史[2]，它涉及到很多人的工作和許多不同物理現(xiàn)象的研究。關鍵字：LTI系統(tǒng)；卷積；傅里葉變換；DFTAnalysis of Fourier TransformLIU ChaoyuanSchool of Electronic and Information Engineering, Southwest China University, Chongqing 400715, ChinaAbstract: The essence of the Fourier transform to signal is deposed into different frequency of plex exponential signals, due to the response of plex exponential signals in LTI system is very simple, and the Fourier transform has many useful properties make Fourier transform can be widely used in signal analysis. Signal Fourier transform has many forms, and has a strong link between each other: such as periodic extension of nonperiodic signal, the Fourier series(FS) is the original signal Fourier transform(FT) interval sampling。這是由于拉格朗日頑固地堅持50年前就已經(jīng)提出過的關于拒絕接受三角級數(shù)的觀點，強烈反對這篇論文的發(fā)表。最后，簡要介紹了LTI系統(tǒng)對復指數(shù)信號的響應，其響應以一個簡單的形式呈現(xiàn)，特別強調(diào)復指數(shù)信號的原因是傅里葉變換的實質(zhì)就是將信號表示成復指數(shù)信號的疊加。 設和分別作為系統(tǒng)的輸入序列，對應系統(tǒng)輸出分別為和，則線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個公式： （） （） （）表征線性系統(tǒng)的可加性；（）表征線性系統(tǒng)的齊次性，式中為常數(shù)。 利用卷積定理計算系統(tǒng)響應原理框圖Figure The principle frame graph of calculation system response by using convolution theorem 式（）所示的卷積運算也是通常所說的線性卷積，在離散傅里葉變換（DFT）中要有還將定義一種卷積，為循環(huán)卷積。如在引言中我們曾介紹過，在滿足狄里赫利條件下，周期信號可以表示成它的級數(shù)形式，即成諧波關系的復指數(shù)形式。 離散時間序列 離散時間序列是自變量取值離散，函數(shù)值取值連續(xù)的一類信號，也可以表示成一串有序數(shù)字的集合。根據(jù)式（）有： （） 式中，稱為數(shù)字頻率，單位是弧度（rad），它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個序列值之間相位變化的弧度數(shù)；稱為模擬角頻率，單位是弧度每秒（rad/s），它表示沒秒經(jīng)歷多少弧度。同時，式（）向我們揭示了周期信號頻譜系數(shù)與非周期信號傅里葉變換之間的關系，即：一個周期信號的傅里葉系數(shù)能夠利用的一個周期內(nèi)信號的傅里葉變換的等間隔采樣來表示。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對離散序列進行分析。該圖的左邊是某一具有代表性的頻譜，和，其中假定，所以沒有頻譜混疊。然而以上討論的信號處理方式都是連續(xù)函數(shù)或者以積分的形式出現(xiàn)，這樣不利于計算機進行處理。 將（）式代入上式化簡得： （） 所以： （）式（）說明，在上的N點等間隔采樣的N點IDFT是原序列以N為周期進行周期擴展后的主值序列。 序列及其循環(huán)卷積波形Figure Sequence and its cyclic convolution waveform 循環(huán)卷積定理表明，對于式（）所示卷積，的L點DFT為： （） 其中。而DFT對應的是有限長序列和有限點頻域采樣，故對連續(xù)非周期信號進行DFT處理時通常先對信號進行預濾波和截取處理，使信號滿足DFT的要求，當然這也必然引入誤差，這不是本文所要討論的內(nèi)容。其周期性表現(xiàn)為 （） 其對稱性表現(xiàn)為 （) （） FFT算法就是不斷把長序列的DFT分解成幾個短序列的DFT，并利用的周期性和對稱性來減少DFT的運算次數(shù)。 本文從基本概念出發(fā)，介紹了傅里葉變換的基本內(nèi)容，并分析討論了各種傅里葉變換的概念及其相互間的關系。然后對信號的離散化處理和離散信號的采樣與抽取進行了簡要介紹以加深對傅里葉變換的認識。在此，我們僅以時域抽取基2FFT算法（簡稱DITFFT）為例進行討論。對連續(xù)時間信號以采樣間隔進行等間隔脈沖采樣，則其頻譜以進行周期性延拓，當采樣頻率大于兩倍的最高頻率時，將不產(chǎn)生頻譜混疊，于是對采樣信號進行低通濾波處理便可恢復原信號。 關于線性卷積與循環(huán)卷積之間的關系，我們對比線性卷積和循環(huán)卷積的定義式，假設與的長度分別為N和M，有： （） （） 其中。這就是頻域采樣定理的內(nèi)容?；诖?，我們引入離散時間傅里葉變換（DFT），它是為了適應利用計算機分析傅里葉變換而規(guī)定的一種專門運算, 是對連續(xù)時間信號頻譜分析的逼近[14]。變換到就相當于對進行頻率域的尺度變換，然后進行低通濾波。連續(xù)時間與離散時間之間建立起聯(lián)系的關鍵是式（）。雖然，這只是三個狄里赫利條件中的其中一個，但所有物理上或?qū)嶋H上有意義的信號都滿足另外兩個條件。 連續(xù)時間周期信號與離散時間周期信號的傅里葉級數(shù)(FS)信號的傅里葉級數(shù)（FS）表示，就是將周期信號表示成一組成諧波關系的周期復指數(shù)信號的線性組合[1]。 （） 連續(xù)時間信號的離散采樣Figure Discrete sampling of continuous time signals