【正文】 經(jīng)脈沖串采樣的頻譜特性Figure The spectrum characteristics of a discrete time signal by pulse sequence sampling由式（）可知，當(dāng)采樣頻率大于2倍最大數(shù)字頻率時(shí)，不產(chǎn)生頻譜混疊。變換到就相當(dāng)于對(duì)進(jìn)行頻率域的尺度變換，然后進(jìn)行低通濾波。該圖的左邊是某一具有代表性的頻譜，和，其中假定，所以沒(méi)有頻譜混疊。就整個(gè)系統(tǒng)而言還是連續(xù)系統(tǒng)，其頻率響應(yīng)為。 連續(xù)信號(hào)的離散化處理過(guò)程 現(xiàn)在來(lái)觀察連續(xù)信號(hào)離散化處理的整個(gè)過(guò)程。但當(dāng)信號(hào)間具有式（）所示關(guān)系時(shí)，我們可以從圖形上直觀了解兩種變換間的關(guān)系。討論如下 ， （） 根據(jù)的傅里葉變換是，所以有 （） 考慮的離散時(shí)間傅里葉變換，利用（）式得： （） 對(duì)比（）式和（）式可見(jiàn)： （）式（）表明可由進(jìn)行尺度變換得到，這種頻率域尺度的伸縮變換是數(shù)字頻率與模擬頻率的體現(xiàn)。根據(jù)我們熟知的采樣定理有，的連續(xù)時(shí)間傅里葉變換是原信號(hào)連續(xù)時(shí)間傅里葉變換的周期性擴(kuò)展，其擴(kuò)展周期為。可以借助采樣定理來(lái)探討他們這種關(guān)系。連續(xù)時(shí)間與離散時(shí)間之間建立起聯(lián)系的關(guān)鍵是式（）。同連續(xù)情況一樣，周期序列傅里葉變換的引入，就能在統(tǒng)一的框架內(nèi)對(duì)離散序列進(jìn)行分析。我們有：若序列絕對(duì)可和或能量有限，則一定收斂。 同時(shí)，式（）也向我們揭示了周期序列頻譜系數(shù)與離散時(shí)間非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)能夠利用在一個(gè)周期內(nèi)的序列的傅里葉變換的等間隔采樣來(lái)表示。通常稱(chēng)為的頻譜，它告訴是怎樣由這些不同頻率的復(fù)指數(shù)序列組成的。與連續(xù)時(shí)間情況相同，當(dāng)周期時(shí)，趨于，也就是說(shuō)，對(duì)任何有限時(shí)間n值而言，就等于。 設(shè)離散時(shí)間非周期信號(hào)，它具有有限的持續(xù)期，以外。 我們有： （） 而周期信號(hào)： （） 故可得出周期信號(hào)的傅里葉變換： （） （）式就是周期信號(hào)的傅里葉表示形式，它在頻域上是由一串沖擊所組成，各沖擊的面積正比于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)。雖然，這只是三個(gè)狄里赫利條件中的其中一個(gè)，但所有物理上或?qū)嶋H上有意義的信號(hào)都滿足另外兩個(gè)條件。同時(shí)，式（）向我們揭示了周期信號(hào)頻譜系數(shù)與非周期信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系，即：一個(gè)周期信號(hào)的傅里葉系數(shù)能夠利用的一個(gè)周期內(nèi)信號(hào)的傅里葉變換的等間隔采樣來(lái)表示。 (b)The periodic signalfor one cycle with 我們來(lái)觀察周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)，將（）式和（）式重寫(xiě)如下，并將（）式中的積分區(qū)間取為，就有： （） （） 由于在內(nèi)，且在其余地方所以式（）可以寫(xiě)成： （） 發(fā)現(xiàn)對(duì)于不同的周期，的包絡(luò)不變，故定義為的包絡(luò)： （） 這時(shí)，頻譜系數(shù)可以寫(xiě)為 （） 當(dāng)周期，趨近于，結(jié)合（）可得： （） 由此，我們得出了非周期信號(hào)的傅里葉變換，將（）式和（）式稱(chēng)為傅里葉變換對(duì)。為非周期信號(hào)，對(duì)于由周期擴(kuò)展而成的周期信號(hào)，當(dāng)周期時(shí)，趨于，對(duì)任何有限時(shí)間t值而言，就等于。而他們之間的聯(lián)系是我們可以將非周期信號(hào)當(dāng)做周期為無(wú)限大的周期信號(hào)進(jìn)行處理。 由于離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示是由有限項(xiàng)構(gòu)成，故不存在收斂問(wèn)題，離散時(shí)間周期信號(hào)用傅里葉級(jí)數(shù)的表示與原信號(hào)完全等價(jià)。 所以，若信號(hào)用其傅里葉級(jí)數(shù)形式表示時(shí)： 連續(xù)： （） 離散： （） 它們之間有一點(diǎn)明顯的不同是：連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是無(wú)限級(jí)數(shù)，而離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)是有限項(xiàng)級(jí)數(shù)。對(duì)于連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)而言，若公共周期為，則成諧波關(guān)系的的復(fù)指數(shù)信號(hào)可表示成： ()k的取值可以是任何整數(shù)，對(duì)于不同的k，表示不同的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)。 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)與離散時(shí)間周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)(FS)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）表示，就是將周期信號(hào)表示成一組成諧波關(guān)系的周期復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合[1]。根據(jù)式（）有： （） 式中，稱(chēng)為數(shù)字頻率，單位是弧度（rad），它表示序列變化的速率，或者說(shuō)表示相鄰兩個(gè)序列值之間相位變化的弧度數(shù)；稱(chēng)為模擬角頻率，單位是弧度每秒（rad/s），它表示沒(méi)秒經(jīng)歷多少弧度。 總結(jié)上述兩點(diǎn)，可以得出連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)與離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)之間的顯著區(qū)別：對(duì)于連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，不同的對(duì)應(yīng)著不同的信號(hào)，越大，信號(hào)振蕩的速率就越高，且對(duì)任何值都是周期的；對(duì)于離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，僅需考慮在某一間隔內(nèi)的就足夠，若為有理數(shù)，則為周期信號(hào)。這就等效于要求： （）為使（）式成立，必須是的整數(shù)倍，也就是說(shuō)必須有一個(gè)整數(shù)m，滿足，或者。把握這種頻率的周期性有利于我們理解離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）的周期性，因?yàn)殡x散信號(hào)的DTFT就是將信號(hào)表示成對(duì)的積分形式。若令，則有另一種表示形式： （） 同連續(xù)時(shí)間情況一樣，我們更關(guān)心的是復(fù)指數(shù)信號(hào)是局限為純虛數(shù)的情形，特別考慮： （） 觀察頻率為的離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，我們發(fā)現(xiàn)： （）這表明離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)是以頻率的周期信號(hào)，而連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)，對(duì)于不同的，表示不同頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)，不具備頻率上的周期性。 連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)具有如下形式： （） 式中和一般為復(fù)數(shù)。 連續(xù)時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào)與離散時(shí)間復(fù)指數(shù)信號(hào) 由于傅里葉變換的本質(zhì)就是將信號(hào)分解為不同頻率的復(fù)指數(shù)信號(hào)的疊加[12]。 （） 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散采樣Figure Discrete sampling of continuous time signals 其中，為連續(xù)信號(hào)，為采樣間隔。 離散時(shí)間序列 離散時(shí)間序列是自變量取值離散，函數(shù)值取值連續(xù)的一類(lèi)信號(hào)，也可以表示成一串有序數(shù)字的集合。所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)傅里葉變換的過(guò)程中要把握好連續(xù)與離散之間的關(guān)系，不能隔離它們之間的聯(lián)系。當(dāng)然，仍是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸入、輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)。這是由于離散信號(hào)的處理可以借助于某一通用或?qū)Ｓ糜?jì)算機(jī)，借助于各種微處理器，或任何面向離散時(shí)間信號(hào)處理而專(zhuān)門(mén)設(shè)計(jì)的各種裝置來(lái)實(shí)現(xiàn)，相比連續(xù)時(shí)間信號(hào)的處理具有顯著優(yōu)勢(shì)[10]。本章并不打算涉及傅里葉變換的所有內(nèi)容，而是立足于連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，分析討論幾種基本的傅里葉變換并著重闡述這幾種傅里葉變換之間的聯(lián)系。另外，對(duì)于具有一定聯(lián)系的信號(hào)，它們的傅里葉變換間也具有一定的關(guān)系。當(dāng)然，對(duì)于同一種類(lèi)型的信號(hào)可以有幾種不同的傅里葉表現(xiàn)形式。傅里葉變換的形式和內(nèi)容有很多，就連續(xù)信號(hào)而言，其傅里葉變換內(nèi)容包括連續(xù)周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)（FS）、連續(xù)非周期信號(hào)的傅里葉變換（FT）與連續(xù)信號(hào)傅里葉變換的的推廣——拉普拉斯變換等；就離散信號(hào)而言，其傅里葉變換內(nèi)容包括離散時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間傅里葉變換（DTFT）、離散周期信號(hào)的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）、有限長(zhǎng)序列的離散傅里葉變換（DFT）、離散傅里葉變換DFT的快速算法（FFT），還有離散信號(hào)DTFT的推廣——z變換等[9]。如在引言中我們?cè)榻B過(guò)，在滿足狄里赫利條件下，周期信號(hào)可以表示成它的級(jí)數(shù)形式，即成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)形式。第三章 傅里葉變換在上一章的結(jié)尾我們?cè)贸鼋Y(jié)論，LTI系統(tǒng)對(duì)于復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)有一個(gè)簡(jiǎn)單的形式，這使得復(fù)指數(shù)信號(hào)便于在LTI系統(tǒng)中進(jìn)行分析，這也是傅里葉變換具有強(qiáng)大生命力的關(guān)鍵所在。也正是由于這種特性，使得復(fù)指數(shù)信號(hào)便于在LTI系統(tǒng)中進(jìn)行分析研究。從特征值的角度可理解為，復(fù)指數(shù)信號(hào)是離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)；對(duì)于某一給定的z值，常數(shù)就是與特征函數(shù)有關(guān)的特征值。也就是說(shuō)： 離散時(shí)間： （） 其中， （） 這里，對(duì)于每個(gè)給定的z值，為常數(shù)。在LTI系統(tǒng)中，若輸入離散時(shí)間序列，其中z為復(fù)數(shù)，單位脈沖響應(yīng)為。例如，交換律和集合律結(jié)合，我們得出對(duì)于多個(gè)LTI系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成的系統(tǒng)，級(jí)聯(lián)次序無(wú)關(guān)緊要。 卷積運(yùn)算中還有三個(gè)重要的性質(zhì)：交換律、分配律和集合律[7]。 利用卷積定理計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)原理框圖Figure The principle frame graph of calculation system response by using convolution theorem 式（）所示的卷積運(yùn)算也是通常所說(shuō)的線性卷積，在離散傅里葉變換（DFT）中要有還將定義一種卷積，為循環(huán)卷積。則 （）對(duì)比（）與（）式，可得出另外一種求系統(tǒng)響應(yīng)的方法[6]：，分別求出系統(tǒng)系統(tǒng)輸入與單位脈沖響應(yīng)的離散時(shí)間傅里葉變換與，根據(jù)（）求出并對(duì)求傅