【正文】 39。,則菱形 ABCD的面積是 ? ( ) ? ? ? 3 3答案 B 過點(diǎn) A作 AF⊥ BC于 F, ? ∵ 在菱形 ABCD中 ,AB=6,∠ ABD=30176。,BC=AB=6. ∴ AF=ABsin 60176。AF=63? =18? .故選 B. 3233 33.(2022南寧 ,16,3分 )如圖 ,菱形 ABCD的對角線相交于點(diǎn) O,AC=2,BD=2? ,將菱形按如圖方式 折疊 ,使點(diǎn) B與點(diǎn) O重合 ,折痕為 EF,則五邊形 AEFCD的周長為 . ? 3答案 7 解析 ∵ 四邊形 ABCD是菱形 ,∴ OA=OC=? AC=1,OD=OB=? BD=? ,AC⊥ BD,∴ AD= ? =2,tan∠ ADO=? =? ,∴∠ ADO=30176。=∠ ABC,∴ △ ABC是等邊三 角形 .由折疊及菱形的性質(zhì)可得 OB與 EF互相垂直平分 ,則 OE=EB=BF=FO,∴∠ EOB=∠ EBO= ∠ ADO=30176。30176。=∠ OAE,∴ △ AOE和△ BEF均為等邊三角形 ,故 EF=EB=EO= AE=1,由此可知 FC=1,∴ 五邊形 AEFCD的周長為 AE+EF+FC+CD+DA=1+1+1+2+2=7. 12 12322AO OD?AOOD 33思路分析 根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分及勾股定理 ,求出菱形的邊長 ,再根據(jù)折疊的性質(zhì) 求出 AE,EF,FC的長 ,進(jìn)而求出五邊形 AEFCD的周長 . 4.(2022欽州 ,16,3分 )如圖 ,在菱形 ABCD中 ,AB=4,線段 AD的垂直平分線交 AC于點(diǎn) N,△ CND的周 長是 10,則 AC的長為 . ? 答案 6 解析 ∵ 線段 AD的垂直平分線交 AC于點(diǎn) N,∴ NA=ND. ∵ △ CND的周長是 10, ∴ CD+DN+NC=10,∴ CD+NA+NC=10. ∴ CD+AC=10. 又 CD=AB=4,∴ AC=6. 5.(2022柳州 ,23,8分 )如圖 ,四邊形 ABCD是菱形 ,對角線 AC,BD相交于點(diǎn) O,且 AB=2. (1)求菱形 ABCD的周長 。 (2)若 AB=5,AC=6,求 ?ABCD的面積 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形 , ∴∠ B=∠ D. ∵ AE⊥ BC,AF⊥ DC, ∴∠ AEB=∠ AFD=90176。BD=? 68=24. 12 1222AB AO? 2253?12 12方法總結(jié) 證明菱形的方法有很多 ,考查頻率較高的是一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 .求 菱形的面積主要有兩種方法 : 。,O、 D分別是邊 AC、 AB的中點(diǎn) ,過點(diǎn) C作 CE ∥ AB交 DO的延長線于點(diǎn) E,連接 AE,CD. (1)求證 :四邊形 AECD是菱形 。 (2)若 AB=? ,∠ DCF=30176。AB=2? . ,A F O C E OA O F C O EO A O C? ? ???? ? ??? ??3cosCDDCF? 3c o s 3 0 ?3思路分析 (1)由 O是 AC的中點(diǎn) ,且 EF⊥ AC,得 AF=CF,AE=CE,OA=OC,由矩形對邊平行得 ∠ AFE=∠ CEF,可證△ AOF≌ △ COE,得 AF=CE,再利用四邊相等的四邊形是菱形得結(jié)論 . (2)用底乘高求菱形的面積 . 主要考點(diǎn) 矩形的性質(zhì) ,菱形的判定 ,銳角三角函數(shù) . 考點(diǎn)三 正方形 1.(2022桂林 ,11,3分 )如圖 ,在正方形 ABCD中 ,AB=3,點(diǎn) M在 CD邊上 ,且 DM=1,△ AEM與△ ADM關(guān) 于 AM所在直線對稱 ,將△ ADM按順時(shí)針方向繞點(diǎn) A旋轉(zhuǎn) 90176。②△ CON≌ △ DOM。④ AN2+CM2=MN2。, ∴∠ BCN+∠ DCN=90176。, ∴∠ BCN=∠ CDM, 又 ∵∠ CBN=∠ DCM=90176。 根據(jù)△ CNB≌ △ DMC,可得 CM=BN, 又 ∵∠ OCM=∠ OBN=45176。 ∵∠ BON+∠ BOM=∠ COM+∠ BOM=90176。,即△ MON是等腰直角三角形 , 又 ∵ △ AOD是等腰直角三角形 , ∴ △ OMN∽ △ OAD,故③正確 。 ∵ △ OCM≌ △ OBN, ∴ 四邊形 BMON的面積 =△ BOC的面積 =1, 即四邊形 BMON的面積是定值 1, ∴ 當(dāng)△ MNB的面積最大時(shí) ,△ MNO的面積最小 , 設(shè) BN=x=CM,則 BM=2x, ∴ △ MNB的面積 =? x(2x)=? x2+x, 12 12∴ 當(dāng) x=1時(shí) ,△ MNB的面積有最大值 ? , 此時(shí) ,S△ OMN的最小值是 1? =? ,故⑤正確 . 綜上所述 ,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 5,故選 D. 1212 123.(2022貴港 ,8,3分 )下列命題中錯(cuò)誤的是 ? ( ) 答案 C A、 B、 D所述命題正確 ,C所述命題錯(cuò)誤 ,故選 C. 4.(2022賀州 ,18,3分 )如圖 ,正方形 ABCD的邊長為 12,點(diǎn) E在邊 AB上 ,BE=8,過點(diǎn) E作 EF∥ BC,分別 交 BD、 CD于 G、 F兩點(diǎn) ,若點(diǎn) P、 Q分別為 DG、 CE的中點(diǎn) ,則 PQ的長為 . ? 答案 2? 13解析 如圖所示 ,過 P作 PM⊥ CD于 M, ? 過 Q作 QN⊥ CD于 N,過 P作 PH⊥ QN于 H. 在正方形 ABCD中 ,AB=CD=12,AD∥ CB, ∠ ADC=∠ BCD=90176。,∴ PM=DM=2=HN. ∴ QH=62=4,∴ PQ=?= ? =2? . 12 12 12 1222QH PH? 2246? 135.(2022北海 ,16,3分 )如圖 ,已知正方形 ABCD的邊長為 4,對角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,點(diǎn) E在 DC邊 的延長線上 ,若 ∠ CAE=15176。,AB∥ DC,∠ ADC=90176。15176。. ∵ 在 Rt△ ADE中 ,∠ ADE=90176。, ∴ AE=2AD=8. 評析 利用正方形的性質(zhì)求出 ∠ E=30176。. ? 答案 45 解析 ∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴ AB=AD,∠ BAD=90176。. ∴∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=90176。=150176?！?BAE)247。. ∴∠ BED=∠ DEA∠ AEB=60176。=45176。 (2)如圖 2,將 (1)中的正方形 ABCD改為矩形 ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥ BF于點(diǎn) M,探究 AE與 BF的數(shù) 量關(guān)系 ,并證明你的結(jié)論 . ? 解析 (1)證明 :∵ 四邊形 ABCD是正方形 , ∴∠ ABC=∠ C,AB=BC. ∵ AE⊥ BF, ∴∠ AMB=90176。, ∵∠ ABM+∠ CBF=90176。,∴∠ BAM+∠ ABM=90176。, ∴∠ BAM=∠ CBF, ∴ △ ABE∽ △ BCF, ∴ ? =? =? , ∴ AB=? BC. AEBF ABBC 2323B組 2022— 2022年全國中考題組 考點(diǎn)一 矩形 1.(2022甘肅蘭州 ,8,4分 )如圖 ,矩形 ABCD的對角線 AC與 BD相交于點(diǎn) O,∠ ADB=30176。,故在直角三角形 ABD中 ,BD=2AB=8,所以 AC=8,所以 OC=? AC=4,故選 B. 12122.(2022四川成都 ,14,4分 )如圖 ,在矩形 ABCD中 ,按以下步驟作圖 :① 分別以點(diǎn) A和 C為圓心 ,以大 于 ? AC的長為半徑作弧 ,兩弧相交于點(diǎn) M和 N。,∠ EAD+∠ EDA=90176。, ∴ △ ADE∽ △ MAB.∴ ? =? ,即 ? =? . ∴ AE= AE=2EM可設(shè) AE=2x,EM=x(x0),則 BM=2x, 在 Rt△ ABM中 ,由勾股定理可知 (2x+x)2=12+(2x)2, 解得 x=? (舍負(fù) ),∴ BM=2x=? . AEBM DEAB AEBM 1155 2554.(2022安徽 ,14,5分 )如圖 ,在矩形紙片 ABCD中 ,AB=6,BC= E在 CD上 ,將△ BCE沿 BE折疊 ,點(diǎn) C恰落在邊 AD上的點(diǎn) F處 。②△ DEF∽ △ ABG。④ AG+DF=FG. 其中正確的是 .(把所有正確結(jié)論的序號都選上 ) ? 32答案 ①③④ 解析 ∵∠ ABG=∠ HBG,∠ FBE=∠ CBE,∠ ABC=90176。,① 正確 。 ∵ BH=6,HF=4, ∴ S△ BGH=? S△ FGH, ∵ △ ABG≌ △ HBG, ∴ S△ ABG=? S△ FGH,③ 正確 。 (2)如圖 b,當(dāng)點(diǎn) D落在線段 BE上時(shí) ,AD與 BC交于點(diǎn) H. ① 求證△ ADB≌ △ AOB。 (3)記 K為矩形 AOBC對角線的交點(diǎn) ,S為△ KDE的面積 ,求 S的取值范圍 (直接寫出結(jié)果即可 ). ? 圖 a 圖 b 解析 (1)∵ 點(diǎn) A(5,0),點(diǎn) B(0,3), ∴ OA=5,OB=3. ∵ 四邊形 AOBC是矩形 , ∴ AC=OB=3,BC=OA=5,∠ OBC=∠ C=90176。. 又點(diǎn) D在線段 BE上 ,得 ∠ ADB=90176。, ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ AOB. 22AD AC? 2253?② 由 Rt△ ADB≌ Rt△ AOB,得 ∠ BAD=∠ BAO. 又在矩形 AOBC中 ,OA∥ BC, ∴∠ CBA=∠ OAB. ∴∠ BAD=∠ CBA. ∴ BH=AH. 設(shè) BH=t(0t5),則 AH=t,HC=BCBH=5t. 在 Rt△ ACH中 ,有 AH2=AC2+HC2, ∴ t2=32+(5t)2,解得 t=? . ∴ BH=? . ∴ 點(diǎn) H的坐標(biāo)為 ? . (3)? ≤ S≤ ? . 17517517,35??????30 3 344? 30 3 344?思路分析 (1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得 AD=AO=5,在直角△ ACD中運(yùn)用勾股定理可求 CD的長 ,從而可確定 D點(diǎn)坐標(biāo) .(2)① 根據(jù)直角三角形全等的判定方法進(jìn)行判定 。DE=? . ? 圖 1 如圖 2,當(dāng)矩形頂點(diǎn) D在 BA的延長線上時(shí) ,點(diǎn) K到直線 DE的距離最大 ,最大值為線段 DK的長 , 12 3421230 3 344?DK=AD+? AB=5+? , S=? DK,將△ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。的延長線交邊 AB于點(diǎn) M,過點(diǎn) B作 BN∥ MP交 DC于點(diǎn) N. (1)求證 :AD2=DP (2)請判斷四邊形 PMBN的形狀 ,并說明理由 。, ∴∠ DAP+∠ APD=90176。, ∴∠ CPB+∠ APD=90176。CB=DPPC.? (3分 ) (2)四邊形 PMBN為菱形 ,理由如下 :? (4分 ) 在矩形 ABCD中 ,CD∥ AB, ∵ BN∥ PM, ∴ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ADPC DPCB∵ △ ADP沿 AP翻折得到△ AD39。, ∴∠ PAM+∠ PBA=90176。, 又 ∵∠ APM=∠ PAM, ∴∠ PBA=∠ BPM, ∴ PM=MB. 又 ∵ 四邊形 PMBN為平行四邊形 , ∴ 四邊形 PMBN為菱形 .? (7分 ) (3)解法一 :∵∠ APM=∠ PAM, ∴ PM=AM, ∵ PM=MB, ∴ AM=MB, ∵ 四邊形 ABCD為矩形 , ∴ CD∥ AB且 CD=AB, 設(shè) DP=a,則 AD=2DP=2a, 由 AD2=DPPC得 PC=4a, ∴ DC=AB=5a,? (8分 ) ∴ MA=MB=? . ∵ CD∥ AB, ∴∠ CPF=∠ ABF,∠ PCF=∠ BAF, ∴ △ PFC∽ △ BFA, ∴ ? =? =? =? ,? (9分 ) ∵ FG∥ PM, 52aPFBF CPAB 45 aa 45∴ ? =? =? ,? (10分 ) ∴ ? =? , ∵ AM=MB, ∴ ? =? , ∵ FG∥ PM, ∴ ? =? =? .? (12分 ) MGBG PFBF 45MGMB49MGAM 49EFAE MGAM 49思路分析 (1)根據(jù)矩形的性質(zhì)以及所給條件 ,證明△ ADP∽ △ PCB,從而得 AD2=DP(2)由 翻折得 ∠ APD=∠ APM,由等角的余角相等得 ∠ PBA=∠ BPM,從而得 PM=MB,進(jìn)而易得四邊形 PMBN為菱形 。DE,即 a=? DE,∴ DE=2. ? 由題意知 DB=? ,在 Rt△ DEB中 , BE=? =1,∴ EC=a1. 在 Rt△ DEC中 ,DE2+EC2=DC2, ∴ 22+(a1)2=a2. 解得 a