無窮小量及其應(yīng)用-在線瀏覽
2025-08-07 07:15本頁面
【正文】 =.定理8：如果，且在上與都是連續(xù)的，那么有.證明：因為==. 所以.例14：求極限.解：因為，且當(dāng)時，. 所以由定理8可得：原式==2.定理9：設(shè)是同一變化過程中的無窮小量，且，那么有.例15：求下列極限：（1）；（2）.解：（1）因為，所以由定理9可得：原式=.（2）因為當(dāng)時，.所以由定理9可得：原式===. 利用無窮小量與函數(shù)極限的關(guān)系求極限定理10：在自變量的同一變化過程中，是當(dāng)時的無窮小量.（我們在這里僅以時為例，其他的情況可類比此定理得出.）證明：“”設(shè)，則對,使得當(dāng)時，有 .令則，. 這就證明了.“”設(shè)，其中 是常數(shù)，于是，.因為是時的無窮小量，所以,使得當(dāng)時，有或.因此結(jié)論成立. 例16：計算的值. 解：因為. 又， 所以由定理10可得:原式===. 判別級數(shù)的斂散性在利用比較判別法的極限形式來判別正項級數(shù)的斂散性時，最大的困難是要找到能與所要求的級數(shù)相比較的已知斂散性的基本級數(shù)，我們可以利用無窮小量比較的觀點理解比較判別法的極限形式.例17：判別下列正項級數(shù)的斂散性.（1）；（2）.解：（1）當(dāng)時，所以與的收斂性相同，又因為發(fā)散，因此正項級數(shù)也是發(fā)散的.（2）當(dāng)時，,.因為.所以當(dāng)時，是比高階的無窮小量.又因為級數(shù)收斂，因此正項級數(shù)也是收斂的. 判別反常積分的斂散性從無窮積分到反常積分，由正項級數(shù)的比較判別法推廣，自然得到無窮積分的斂散性判別法.定理11：設(shè)定義于，在任何有限區(qū)間上可積，且，則有：（1）當(dāng),時，無窮積分收斂；（2）當(dāng),時，無窮積分發(fā)散.這個定理實際上是構(gòu)造無窮小量與函數(shù)作比較，當(dāng)，函數(shù)是的高階無窮小量或同階無窮小量時，無窮積分收斂；當(dāng)，函數(shù)是低階無窮小量或同階無窮小量時，就可以確定的取值.例18：判別無窮積分的收斂性.解：因為當(dāng)時，,. 所以與是同階的. 故取，因為.所以無窮積分 發(fā)散.例19：判別無窮積分的收斂性.解：因為當(dāng)時，是的高階無窮小量. 所以是的高階無窮小量. 故應(yīng)取即可. 例如取，有.因此無窮積分收斂. 定理12：設(shè)是定義在區(qū)間內(nèi)的一個連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)時，有：（1） 當(dāng)時，廣義積分收斂；（2） 當(dāng)時，廣義積分發(fā)散. 例20：判別無窮積分的斂散性.解：對于，有. 則.所以是的同階無窮小量或高階無窮小量. 因此無窮積分收斂.至于瑕積分，由于可以和無窮積分相互轉(zhuǎn)化，關(guān)于其斂散性，相應(yīng)地也有比較判別法.定理13：設(shè)定義于，為其瑕點，且在任何上可積，且，則有：（1）當(dāng),時，無窮積分收斂；（2）當(dāng),時，無窮積分發(fā)散. 例21：判別瑕積分的斂散性. 解：是被積函數(shù)的瑕點. 當(dāng)時，則與是同階無窮大量.所以與是同階無窮大量，令，則.又，因此瑕積分收斂.例22：判別瑕積分的收斂性.解：是被積函數(shù)的瑕點. 當(dāng)時，.所以與是同階無窮大量，故可取.所以==.因為，所偶一瑕積分發(fā)散. 無窮小量在近似計算中的應(yīng)用無窮小量的概念是近似計算的重要理論依據(jù)，經(jīng)常會遇到一
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