【正文】 圖1 工程優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算流程圖第二章優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的分類優(yōu)化設(shè)計(jì)的類別很多，從不同的角度出發(fā)，可以得出不同的分類。②目標(biāo)函數(shù)，反映設(shè)計(jì)變量間的相互關(guān)系，可以直接用來(lái)評(píng)價(jià)方案的好壞，根據(jù)其個(gè)數(shù)，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題可分為單目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題和多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。2）按維數(shù)，可分為一維優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和多維優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。4）按尋優(yōu)途徑，可分為數(shù)值法、解析法、圖解法、實(shí)驗(yàn)法和情況研究法。 算法：由于梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以稱為梯度法，又稱為最速下降法。梯度法的優(yōu)點(diǎn)是：直觀，簡(jiǎn)單；缺點(diǎn)是：由于它采用了函數(shù)負(fù)梯度方向作為下一步的搜索方向，所以收斂速度較慢，越是接近極值點(diǎn)收斂越慢；應(yīng)用：應(yīng)用梯度法可以使目標(biāo)函數(shù)在開頭幾步下降很快，所以它可與其它無(wú)約束優(yōu)化方法配合使用。算法：其中——f(x)在處的海賽矩陣，該迭代方法稱為牛頓方法。針對(duì)梯度法收斂速度比牛頓法慢，而牛頓法又存在上述缺點(diǎn)，近年來(lái)人們又提出了改進(jìn)算法，如針對(duì)梯度法提出只用梯度信息，但比梯度法收斂速度快的共軛梯度法；針對(duì)牛頓法提出了變尺度法。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲较蛑械拿恳粋€(gè)共軛向量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而夠造出來(lái)的，所以稱作共軛梯度法，又稱為旋轉(zhuǎn)梯度法。此法的優(yōu)點(diǎn)是：程序簡(jiǎn)單，存儲(chǔ)量少，具有梯度法的優(yōu)點(diǎn)，而在收斂速度上比梯度法快，具有二次收斂性。對(duì)變尺度法改進(jìn)為DFP算法，該算法是無(wú)約束優(yōu)化方法中最有效的方法之一，因?yàn)樗粏渭兪抢孟蛄總鬟f信息，還采用矩陣來(lái)傳遞信息。所以1970年提出更穩(wěn)定的算法公式，稱為BFGS算法。約束優(yōu)化方法根據(jù)求解方式的不同，可分為直接解法和間接解法?；舅悸罚褐苯咏夥ㄍǔ＿m用于僅含不等式約束的問(wèn)題，其基本思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)，選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向d，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)，沿d方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一次迭代。每次迭代計(jì)算均按以下基本迭代格式進(jìn)行直接解法的特點(diǎn)是： ⑴由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此，迭代計(jì)算不論何時(shí)終止，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。⑷原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。它的基本思路是在可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，利用隨機(jī)數(shù)的概率特性，產(chǎn)生若干個(gè)隨機(jī)方向，并從中選擇一個(gè)能使目標(biāo)函數(shù)值下降最快的隨機(jī)方向作為可行搜索方向，記作d。然后，將起始點(diǎn)移至x，即令223。重復(fù)以上過(guò)程，經(jīng)過(guò)若干次迭代計(jì)算后，最終取得約束最優(yōu)解。由于可行搜索方向是從許多隨機(jī)方向中選擇的使目標(biāo)函數(shù)下降最快的方向，加之步長(zhǎng)還可以靈活變動(dòng)，所以此算法的收斂速度比較快。它是求解小型機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的一種十分有效的算法。其典型策略是,從可行點(diǎn)出發(fā),沿著下降的可行方向進(jìn)行搜索,求出使目標(biāo)函數(shù)值下降的新的可行點(diǎn)。逐次線性近似法、Zoutendijk 可行方向法、FrankWolfe 方法、Wolfe 既約梯度法等是常用的可行方向法?；舅悸罚杭s束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。基本迭代過(guò)程如下：首先將式（1－2）轉(zhuǎn)化為無(wú)約束目標(biāo)函數(shù)式中，——轉(zhuǎn)化后的新目標(biāo)函數(shù)；——分別為約束函數(shù)，經(jīng)過(guò)加權(quán)處理后構(gòu)成的某種形式的復(fù)合函數(shù)或泛函數(shù)；，——加權(quán)因子。由于在新目標(biāo)函數(shù)中包含了各種約束條件，在求極值的過(guò)程中還將改變加權(quán)因子的大小。從而間接地求得原約束問(wèn)題的最優(yōu)解。⑵可以有效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問(wèn)題。加權(quán)因此選確不當(dāng)，不但影響收斂速度和計(jì)算精度，甚至?xí)?dǎo)致計(jì)算失敗。對(duì)于以下的約束優(yōu)化問(wèn)題：. . 中的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過(guò)加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和遠(yuǎn)目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無(wú)約束極小值，以期得到原問(wèn)題的約束最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱為序列無(wú)約束極小化方法，常稱為SUMT法。特點(diǎn)：1) 內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法簡(jiǎn)稱為內(nèi)點(diǎn)法，只能用來(lái)求解具有不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。3) 混和懲罰函數(shù)法簡(jiǎn)稱為混合法，這種方法把內(nèi)點(diǎn)法和外點(diǎn)法結(jié)合起來(lái)，用來(lái)求解同時(shí)具有等式約束和不等式約束函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。缺點(diǎn)：理論上講，只有當(dāng)（外點(diǎn)法）或（內(nèi)點(diǎn)法）時(shí)，算法才能收斂，因此收斂速都慢。近年來(lái)提出的增廣乘子法在計(jì)算過(guò)程中數(shù)值穩(wěn)定性，計(jì)算效率上都超過(guò)懲罰函數(shù)法。多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化過(guò)程要比單目標(biāo)的優(yōu)化過(guò)程復(fù)雜的多，特別是當(dāng)設(shè)計(jì)目標(biāo)之間相互對(duì)立時(shí)，求對(duì)各設(shè)計(jì)目標(biāo)都滿意的方案就更加困準(zhǔn)。解決多目標(biāo)問(wèn)題的優(yōu)化方法很多，適用的對(duì)象也不完全相同，但其主要思路都是設(shè)法對(duì)所有目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行統(tǒng)籌協(xié)調(diào)，以便求得一個(gè)對(duì)所有設(shè)計(jì)目標(biāo)都比較滿意的方案。其基本思想是，根據(jù)各分目標(biāo)的重要性，選擇時(shí)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣影響最大的目標(biāo)作為主要目標(biāo)，建立目標(biāo)函數(shù)，而將其余目標(biāo)按照一定的原則化為輔助的約束條件，然后對(duì)主要目標(biāo)函數(shù)求約束優(yōu)化解。一般，應(yīng)首先對(duì)各目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)量綱處理，使其變?yōu)橐?guī)格化形式，然后再考慮各分目標(biāo)的重要程度的數(shù)量級(jí)的差異，選擇合適的加權(quán)因子。 沒(méi)有約束函數(shù)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題為無(wú)約束化問(wèn)題! 無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法很多，根據(jù)在尋優(yōu)過(guò)程中是否利用目標(biāo)函數(shù)的性態(tài)（如可微性）分為直接法和間接法。 因此，無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題是常用優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的重要基礎(chǔ)! 無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的特點(diǎn)包括計(jì)算效率高、穩(wěn)定性好等! 比較常用的無(wú)約束優(yōu)化設(shè)計(jì)方法有坐標(biāo)輪換法、單純形法、共軛方向法、梯度法、牛頓法、變尺度法