概率論第三章部分習(xí)題解答-在線瀏覽
2025-06-16 12:05本頁面
【正文】 ????? ????? , d x d yyxxfXE ? ? ? ?? ????? ????? ., d x d yyxyfYE即： ? ? ? ?? ????? ,dxxxfXE X ? ? ? ?? ????? .dyyyfYE Y假定級數(shù)是絕對收斂的 . 假定積分是絕對收斂的 . 二、二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 即： 3 ? ? ? ? ? ????iii xpxgXEgEY則定義隨機(jī)變量函數(shù) 的 數(shù)學(xué)期望 為： ? ?XgY ?X 1x)( 1xp2x nx? ?? ?)( ixXP ? )( nxp)( 2xp（ 1）設(shè) 離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為： 三、一維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ? ? ? dxxfxgXEgEY ? ??????機(jī)變量函數(shù) 的數(shù)學(xué)期望為： ? ?XgY ?則定義隨 （ 2）若 X為連續(xù)型隨機(jī)變量 ， ? ?,xf其概率密度為 4 （ 1）設(shè)二維離散隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率函數(shù)為 p(xi , yj)， 則 隨機(jī)變量函數(shù) g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下： ? ?? ? ? ? ? ? , ? ??i jjiji yxpyxgYXgE（ 2）設(shè)二維連續(xù)隨機(jī)變量 (X,Y)的聯(lián)合概率密度為 f(x, y)， 則 隨機(jī)變量 g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望如下： ? ?? ? ? ? ? ?? ????? ????? , d x d yyxfyxgYXgE假定這個級數(shù)是絕對收斂的 . 假定這個積分是絕對收斂的 . 四、二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 5 五、關(guān)于數(shù)學(xué)期望的定理 定理 1 ? ? b E XabXaE ???aEa ? ? ? EXaXaE ???? ? b E XbXE ?推論 （ 1） （ 2） （ 3） 定理 2 推論： .11????????????? niinii EXXE? ? ? ? ? ?YEXEYXE ???定理 3 若 X、 Y 獨(dú)立，則有 ： 推論 .11????????????? niinii EXXE相互獨(dú)立，則若 nXXX , 21 ?? ? ? ? ? ?YEXEXYE ?6 定義 X 的 標(biāo)準(zhǔn)差 ： ? ? 2EXXEDX ??DXX ??定義 X 的 方差： 若 X 為 離散型隨機(jī)變量 ， 則有 ? ? ? ??????12iii pEXxXD若 X 為 連續(xù)型隨機(jī)變量 ， 則有 ? ? ? ?? ???? ?? dxxfEXxXD )(2? ? ? ?? ? 22 XEXEDX ??方差的計算公式 : 。0?Db ? ? 。01 ?? DX?2?對于離散隨機(jī)變量： ??i ikik xpxX )()(?對于連續(xù)隨機(jī)變量： ? ????? dxxfxXkk )()(?對于離散隨機(jī)變量： 對于連續(xù)隨機(jī)變量： ? ??iikik xpXExX )()]([)(?? ? dxxfXExX kk )()()( ? ???? ???其中 k為正整數(shù)。 11 ),(c o v),( ??? YXYXR)()(),(c o v),(YDXDYXYXR ? X與 Y 的相關(guān)系數(shù) 定義 定理 3 ? ? 1, ?YXR,bXaY ??且 ???????.0,1。 即 : X 與 Y相互 獨(dú)立 X與 Y 不相關(guān) 12 十、切比雪夫不等式與大數(shù)定律 切比雪夫不等式 ? ?2)()(?????XDXEXP切比雪夫大數(shù)定律 1)(11lim11????????? ??? ??????niiniin XEnXnP伯努利大數(shù)定律 辛欽大數(shù)定律 若方差一致有上界 11lim1????????? ????????niin XnP獨(dú)立同分布 在獨(dú)立試驗序列中，事件 A 的頻率按概率收斂于事件 A 的概率 . ? ? 1 )( l i n ?????? PAWP nn13 解 設(shè)隨機(jī)變量 X表示在取得合格品之前已取得的廢品數(shù) , 則 .3,2,1,0?X? ? ?? 0XP 。449?? ? ?? 2XP109112123 ?? 。如果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已 取出的廢品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。 都是合格，則也停止檢查而認(rèn)為這批產(chǎn)品合格。若發(fā)現(xiàn)次品，則 設(shè)隨機(jī)變量 X 表示 每批產(chǎn)品抽查的樣品數(shù) ，則 : )4,3,2,1()( 1 ??? ? mpqmXP m∴ X 的概率分布表如下： )1( ?? qp454)5( qqpqXP ????X)( mXP ? 4q521p pq432pq 3pq432432 5101055432 ppppqpqpqpqpEX ???????????解 16 3 設(shè)隨機(jī)變量 X的概率密度為： ? ??????????1,01,112xxxxf ?求數(shù)學(xué)期望 EX與方差 DX. 01111 2???? ??dxxxEX?222 )( EXEXEXDX ????? ?????? ? 10 2211 221211 dxxxdxxxDX ??令 t d tdxtx c o s,s i n ???212212)( s i n2 202 ?????? ? ????dxtDX解 則 17 4 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 : ,21)( ??????? ? xexf x求數(shù)學(xué)期望 EX與方差 DX. ??? ?? ????? ?? ? ?????? 00 212121 dxexdxexdxexEX xxx? ???? ???? dxexDX x2122)3(0 2 ???? ? ?? ? dxex x222 EXXEEXDX ????解 0?? ?? ??? 0 2 212 dxex x18 5 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為： ? ? ),0(000222??????????axxeAxxf ax求系數(shù) A及 EX與 D X. 1)(02 22?? ?? ?? ?????dxeAxdxxf ax?令 dttadxtaxtax 21222,???? 即dtetaAdttaetaA tt ?? ?? ???? ? ????0213210222dxeAx ax? ?? ?? 0 2 22解 19 dxexaEX ax? ?? ??? 0 33 224?dtetadxexaEX tax?? ?? ??????02320432 24 22???2321232 22 aa ????? ??XEEXDX 22 ????????? ??????423423 222 aaa???????? 2323aA 1421233????? ?? aAaA?34aA ?????aadttea t 2)2(220???? ? ?? ????????? 2522?a20 6 方向盤有整分度 ，如果計算角度時是把零頭數(shù)化為最 ?1? ?, ,?U?????????。 靠近的整分度計算的，求測量方位角時誤差的數(shù)學(xué)期望 測量方位角時的誤差 X～ 21 7 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從二項分布 B(3,),求下列隨機(jī)變量的數(shù) 2)3()3()。)1(3221XXYXXYXY ?????學(xué)期望 與方差 : .3,2,1,)( 33 ??? ? mCmXP mmmX)( mXP ? 0 321 )( ???? ???EX)()1( 2221 ?????? XEDXXEEY)( 421 XEEY ? 444 ???????5 5 8 )()( 221211 ?????? EYYE
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