【正文】 5 16/45 1/45 2. 進(jìn)行某種試驗，設(shè)試驗成功的概率為 34 ，失敗的概率為 14 ，以 X 表示試驗首次成功所需試驗的次數(shù)，試 寫出 X 的分布律，并計算 X 取偶數(shù)的概率 . 解 X 的分布律為： 113( ) , 1 , 2 , 3 ,44kP X k k?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? X 取偶數(shù)的概率： 2113{ } ( 2 )44111 1633 116 51 16kkP X P X k????? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ??? ??????k=1 k=1k=1為 偶 數(shù) 3. 從 5 個數(shù) 1， 2， 3， 4， 5 中任取三個為數(shù) 1 2 3,x x x .求： X＝ max ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(X≤ 4)； Y＝ min ( 1 2 3,x x x )的分布律及 P(Y3). 解 基本事件總數(shù) 為： 35 10C? ， (1)X 的分布律為： P(X≤ 4)=P(3)+P(4)= (2)Y 的分布律為 P(X3) =0 4. C 應(yīng)取何值，函數(shù) f(k) = !kCk? ， k＝ 1， 2，?，λ 0 成為分布律？ 解 由題意 , 1 ( ) 1k fx?? ??, 即 X 3 4 5 p Y 1 2 3 p 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 14 頁 (共 96 頁 ) 01 1 0 ( 1 ) 1! ! ! 0 !k k kk k kC C C C ek k k?? ? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? 解得： 1( 1)C e?? ? 5. 已知 X 的分布律 X － 1 1 2 P 16 26 36 求：（ 1） X 的分布函數(shù)；（ 2） 12PX???????；（ 3） 312PX????????. 解 (1) X 的分布函數(shù)為 ( ) ( )k kxxF x P X x p?? ? ? ? 0 , 11 / 6 , 1 1()1 / 2 , 1 21 , 2xxFxxx???? ? ? ??? ? ???? ??。( ) 0,xxf x F x O th e r??????? (4) 由 (2)知， P(X) = ， 故 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 16 頁 (共 96 頁 ) P{四次獨立試驗中有三次在 (, )內(nèi) } = 3 3 4 34 0. 5 (1 0. 5) 0. 25C ???. 12. 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的密度函數(shù)為 2 ,1() 10 , 1k xFx xx? ??? ????? 求：（ 1）系數(shù) k；（ 2） 12PX???????；（ 3） X 的分布函數(shù) . 解 (1)由題意， ( ) 1f x dx???? ??, 因此 1211( ) a r c si n 1111kf x dx dx k x kxk??? ? ?? ? ?? ? ? ??????解 得 : (2) 1 / 221 / 21 / 21 1 1 1a r c s in 1 / 22 6 6 31 kP x d x xx ??????? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??? (3) X 的分布函數(shù) 01( ) ( ) 1 / 2 a r c si n / 1 1111/xxF x f x dx x xxk????????? ? ? ? ? ??? ????解 得 : 13. 某城市每天用電量不超過 100 萬千瓦時，以 Z 表示每天的耗電率 (即用電量除以 100 萬千瓦時 )，它具有分布密度為 21 2 (1 ) , 0 1()0,x x xFx ? ? ? ?? ?? 其 他 若該城市每天的供電量僅有 80 萬千瓦時，求供電量不夠需要的概率是多少？如每天供電量為 90 萬千瓦時又是怎樣的？ 解 如果供電量只有 80 萬千瓦，供電量不夠用的概率為： P(Z80/100)=P(Z)= 1 2 1 2 (1 ) 0 .0 2 7 2x x d x??? 如果供電量只有 90 萬千瓦，供電量不夠用的概率為： P(Z90/100)=P(Z)= 1 2 1 2 (1 ) 0 .0 0 3 7x x d x??? 14. 某儀器裝有三只獨立工作的同型號電子元件，其壽命 (單位 小時 )都服從同一指數(shù)分布，分布密度為 6001 ,0() 6000,xexFxx? ??? ???? 0 試求在儀器使用的最初 200 小時以內(nèi)，至少有一只電子元件損壞的概率 . 解 設(shè) X 表示該型號電子元件的壽命，則 X 服從指數(shù)分布，設(shè) A={X≤ 200}，則 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 17 頁 (共 96 頁 ) P(A)= 1200 6 0 0 30 1 1600xe d x e????? 設(shè) Y={三只電子元件在 200 小時內(nèi)損壞的數(shù)量 }，則所求的概率為： 10 0 3 0 333 1( 1 ) 1 ( 0 ) 1 ( ) ( 1 ( ) ) 1 ( ) 1P Y P Y C P A P A e e??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15. 設(shè) X 為正態(tài)隨機變量，且 X～ N(2， 2? )，又 P(2X4) = ，求 P(X0) 解 由題意知 ? ?2 2 2 4 2 2( 2 4 ) 0 0 . 3XP X P? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 即 2 0 .3 0 .5 0 .8???? ? ? ????? 故 2 0 2 2 2( 0 ) 1 0 . 2XP X P? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 16. 設(shè)隨機變量 X 服從正態(tài) 分布 N(10， 4)，求 a，使 P(|X－ 10|a) = . 解 由于 ? ? ? ? 10| 1 0 | 1 02 2 2a X aP X a P a X a P ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 2 1 0 . 92 2 2a a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以 2a???????? 查表可得， 2a = 即 a = 17. 設(shè)某臺機器生產(chǎn)的螺栓的長度 X 服從正態(tài)分布 N(， )，規(guī)定 X 在范圍 (177。 | ( ) | 39。( )yyh y e h y e??且 , 則 2( ) [ ( ) ] | ( ) | ( )2(1 )2 ,()yyY X Xyyyyf y f h y h y f e eeeyee?? ??????? ? ? ? ? ? ?? 24. 設(shè)隨機變量 X 服從 N(μ , 2? )分布，求 Y＝ xe 的分布密度 . 解 由于 xye? 嚴(yán)格單調(diào)，其反函數(shù)為 1( ) ln , 39。( )2(1 )hy y? ?，則當(dāng) 01y?? 12 ( l n( 1 ) )2( ) [ ( ) ] | ( ) |11( l n( 1 ) )2 2( 1 )1212( 1 )YXXyf y f h y h yfyyey? ? ???? ? ????? 當(dāng) y≤ 0 或 y≥ 1 時， ()Yfy=0. 因此 Y 在區(qū)間 (0, 1)上服從均勻分布 . 26. 把一枚硬幣連擲三次，以 X 表示在三次中正面出現(xiàn)的次數(shù)， Y 表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對值，試求（ X， Y）的聯(lián)合概率分布 . 解 根據(jù)題意可知 , (X,Y)可能出現(xiàn)的情況有： 3 次正面， 2 次正面 1 次反面 , 1 次正面2 次反面 , 3 次反面 , 對應(yīng)的 X,Y 的取值及概率分別為 P(X=3, Y=3)=18 P(X=2, Y=1)= 223 1 1 32 2 8C ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? P(X=1, Y=1)= 3113 1 1 32 2 8C?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ? P(X=0, Y=3)= 31128??????? 于是，（ X， Y）的聯(lián)合分布表如下： X Y 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 27. 在 10 件產(chǎn)品中有 2 件一級品， 7 件二級品和 1 件次品，從 10 件產(chǎn)品中無放回抽取 3件，用 X 表示其中一級品件數(shù)， Y 表示其中二級品件數(shù)，求： （ 1） X 與 Y 的聯(lián)合概率分布； （ 2） X、 Y 的邊緣概率分布； （ 3） X 與 Y 相互獨立嗎？ 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 21 頁 (共 96 頁 ) 解 根據(jù)題意， X 只能取 0， 1， 2， Y 可取的值有： 0， 1， 2， 3，由古典概型公式得： (1) 2 7 1310( , ) ,i j kij C C Cp P X i Y j C? ? ? ?其中 , 3, 0 ,1, 2 ,i j k i? ? ? ? ,1,2,3j ? 0,1k? ,可以計算出聯(lián)合分布表如下 Y X 0 1 2 3 ip 0 0 0 21/120 35/120 56/120 1 0 14/120 42/120 0 56/120 2 1/120 7/120 0 0 8/120 jp 1/120 21/120 63/120 35/120 (2) X,Y 的邊緣分布如上表 (3) 由于 P(X=0,Y=0)=0, 而 P(X=0)P(Y=0)≠ 0, P(X=0,Y=0)≠ P(X=0)P(Y=0), 因此X,Y 不相互獨立 . 28. 袋中有 9 張紙牌，其中兩張“ 2”，三張“ 3”，四張“ 4”，任取一張，不放回，再任取一張，前后所取紙牌上的數(shù)分別為 X 和 Y，求二維隨機變量 (X, Y)的聯(lián)合分布律，以及概率 P(X＋ Y6) 解 (1) X,Y 可取的值都為 2,3,4, 則 (X,Y)的聯(lián)合概率分布為： Y X 2 3 4 ip 2 2229/ 1/ 36AA? 1 1 22 3 9/ 1/12A A A ? 1 1 22 4 9/ 1/ 9A A A ? 2/9 3 1 1 23 2 9/ 1/12A A A ? 2239/ 1/12AA? 1 1 23 4 9/ 1/ 6C C A ? 1/3 4 1 1 24 2 9/ 1/ 9A A A ? 1 1 24 3 9/ 1/ 6A A A ? 2249/ 1/ 6AA? 4/9 jp 2/9 1/3 4/9 (2) P(X+Y6) = P(X=3, Y=4) + P(X=4, Y=3) + P(X=4,Y=4) =1/6+1/6+1/6=1/2. 29. 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量 (X, Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 ( , ) a r c ta n a r c ta n23xyF x y A B C? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?, 求：（ 1）系數(shù) A、 B 及 C； （ 2） (X, Y)的聯(lián)合概率密度； （ 3） X， Y 的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度；（ 4）隨機變量 X 與 Y 是否獨立？ 解 (1) 由 (X, Y)的性質(zhì) , F(x, ∞ ) =0, F(∞ ,y) =0, F(∞ , ∞ ) =0, F(+∞ , +∞ )=1, 可以得到如下方程組： 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 習(xí)題參考答案（僅供參考） 第二章 第 22 頁 (共 96 頁 ) a r c t a n 022a r c t a n 023022122xA B CyA B CA B CA B C??