高考數(shù)學(xué)考前60天沖刺50題六大解答題圓錐曲線專練-在線瀏覽
2025-06-04 12:56本頁面
【正文】 B（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系． （1）將整理得 解方程組得直線所經(jīng)過的定點(diǎn)（0，1），所以． 由離心率得．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．4分（2）設(shè)，則．∵，∴．∴∴點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的的圓上．即點(diǎn)在以為直徑的圓上．……6分又，∴直線的方程為．令，得．又，為的中點(diǎn)，∴．……8分∴，．∴．∴．∴直線與圓相切．，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍；（Ⅲ）若直線不過點(diǎn)M，試問是否為定值？并說明理由。 （1）求橢圓C的方程； （2）求的取值范圍； （3）若B點(diǎn)在于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是E，證明：直線AE與x軸相交于定點(diǎn)。解析：（Ⅰ）由因直線相切，∴，………………2分∵圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角 形，∴ 故所求橢圓方程為 （Ⅱ）當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：當(dāng)L與x軸垂直時(shí)，以AB為直徑的圓的方程： 由即兩圓公共點(diǎn)（0，1）因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是（0，1） （?。┊?dāng)直線L斜率不存在時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T（0，1） （ⅱ）若直線L斜率存在時(shí)，可設(shè)直線L：由 記點(diǎn)． ∴TA⊥TB, 綜合（?。áⅲ?，以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T（0，1）．，且橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)F2的最短距離為 （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，線段MN垂直平分線恒過點(diǎn)A（0，1），求實(shí)數(shù)m的取值范圍。 ………………………6分（2）由（1）知，點(diǎn)A（x1,y1）、B（x2,y2）的坐標(biāo)滿足，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，）, m=3， 于是x1+x2+1=3+m=0，y1+y2+=3++=0， 因此△PAB的重心坐標(biāo)為(0，0)．即原點(diǎn)是△PAB的重心.∵x1+x2=1，y1+y2=，∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），………………………10分 又，兩式相減得。 （Ⅰ）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； （Ⅱ）圓O是以橢圓E的長(zhǎng)軸為直徑的圓，M是直線x=－4在x軸上方的一點(diǎn)，過M作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為P、Q，當(dāng)∠PMQ=60176。 (1)設(shè)直線的方程為：，即由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡(jiǎn)得：[來源:Z。]求直線的方程為：或，即或(2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：[來源:]，即：因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。 故有：，化簡(jiǎn)得：關(guān)于的方程有無窮多解，有：解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。，橢圓C過點(diǎn)A，兩個(gè)焦點(diǎn)為（1，0），（1，0）。解：（Ⅰ）由題意，c=1,可設(shè)橢圓方程為，解得，（舍去）所以橢圓方程為。16．已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)是圓的圓心，圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)是圓上任意一點(diǎn)．（Ⅰ）求圓的方程；（Ⅱ）若直線與直線交于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求直線被圓所截得的弦長(zhǎng)；（Ⅲ）在平面上是否存在定點(diǎn)，使得對(duì)圓上任意的點(diǎn)有？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（Ⅰ）由雙曲線E：，得： ，．……2分又圓C過原點(diǎn)，所以圓C的方程為． ……………………4分（Ⅱ）由題意，設(shè)，代入，得，…………5分所以的斜率為，的方程為．………………6分所以到的距離為， ……………………………………7分直線FG被圓C截得的弦長(zhǎng)為 ……………………………9分(Ⅲ)設(shè)P(s,t),G(x0,y0),則由，得整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144s2t2=0. ① ………………11分又G(x0,y0)在圓C:(x+4)2+y2=16上，所以x02+y02+8x0=0 ②②代入①，得(2s+24)x0+2ty0+144s2t2=0. ……………………………………13分又由G(x0,y0)為圓C上任意一點(diǎn)可知，…………………………14分解得：s= 12, t=0. …………………………………………………………………15分所以在平面上存在一定點(diǎn)P，其坐標(biāo)為（12,0）．17. 橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、右頂點(diǎn)為，為橢圓上任意一點(diǎn)．已知的最大值為，最小值為． （１）求橢圓的方程； （２）若直線：與橢圓相交于、兩點(diǎn)（、不是左右頂點(diǎn)），且以為直徑的圓過點(diǎn)．求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．解析：（1） 是橢圓上任一點(diǎn),且，……………………2分當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)或時(shí), 有最大值．， ， ．橢圓方程為。18. 已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.(1)求拋物線的方程。是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由. 解：解:(1)由題意,可設(shè)拋物線方程為. …………1分由,得. …………2分拋物線的焦點(diǎn)為,. …………3分拋物線D的方程為. …………4分(2)設(shè),. …………5分直線的方程為：, …………6分聯(lián)立,整理得: …………7分=.…………9分 ，定直線l的方程為．動(dòng)圓C與圓C1外切，且與直線l相切．（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心C的軌跡M的方程；（II）斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點(diǎn)P，過點(diǎn)P作直線l的垂線恰好經(jīng)過點(diǎn)A（0，6），并交軌跡M于異于點(diǎn)P的點(diǎn)Q，記為POQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積，求的值．解（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)為，動(dòng)圓半徑為R，則 ，且 ————2分A
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