計算力學(xué)ppt課件-在線瀏覽
2025-05-09 05:50本頁面
【正文】 對應(yīng)，記為 Π[y(x)]，則記 Π[y(x)]是定義于集合 {y(x)}上的一個泛函。定義域是指滿足一定的邊界條件、初始條件和函數(shù)的連續(xù)程度的函數(shù)集。 y(x)亦稱為泛函 Π的 宗量 。泛函的值是由一條可取曲線的整體性質(zhì)決定的。在 A、 B兩端點固定的邊界條件下，從 A滑到 B所需的時間最短。 John Bornouli 于 1696年提出。 求曲面 ?(x,y,z)=0上兩定點A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)間長度最短的曲線。其中函數(shù)y(x)、 z(x)滿足約束條件 ?(x,y,z)=0 此問題屬于“ 條件變分 ”問題。 等周問題。周長為 固定邊界條件為 所圍面積 等周問題可歸納為 端點固定條件式及限制條件（長度一定的封閉曲線）下，從一切 x=x(s),y=y(s)的函數(shù)中選取一對函數(shù)，使泛函 R為最大。 Euler 于 1744年解決。 變分 δy和函數(shù)微分 dy的 區(qū)別 ： 變分 δy反映的是整個函數(shù)的改變，函數(shù)微分dy反映的是同一函數(shù) y(x)因 x取不同值而產(chǎn)生的差異。接近度的階數(shù)越高，曲線接近得越好。 零階接近度曲線 一階接近度曲線 泛函的連續(xù) 對于任意給定的 ε 0，總可找到 δ ，并當(dāng) 就能使 則稱泛函 Π[y(x)]在 y(x)= y1(x)處 k 階接近地連續(xù)。 什么是函數(shù) y=f(x)的微分？ 例如： y= f(x) = sinx 如果 x→ x+Δx，則函數(shù)的增量 從式中可看到： Δy與 Δx之間的函數(shù)關(guān)系是非線性的。 泛函的變分？ 例如 泛函增量 ΔΠ 有兩項組成，第一項記為： 當(dāng)函數(shù) y(x)固定時， 線性泛函。 泛函變分的定義： 即泛函 ?[y(x)]的變分 ? ?是泛函隨宗量 y(x)的微小增量 δy而產(chǎn)生的增量 ??的線性主要部分。 （ 2）泛函的駐值 如果泛函 ?[y(x)]在任何一條與 y0 (x)接近的曲線上的值不大（?。┯??[y0 (x)] ，即 則稱泛函 ?[y(x)]在曲線 y=y0 (x)上達到極大（或極小）值，而且在 y=y0 (x)上有駐值條件 即泛函 ?[y(x)]在 y0 (x)的一階變分為零。 解： 設(shè) y(x)就是欲求的極值曲線，在 y(x)的近旁構(gòu)造一類可取函數(shù) ε為與 x無關(guān)的微小參量， ?y(x)是滿足變分法預(yù)備定理中的 3個一般條件的任意選定的函數(shù)。 而且 所以展開得： 另外，根據(jù) 泛函的變分是泛函增量的線性主部 這一定義也可得到 Euler方程： 解 ：仍設(shè) y(x)就是欲求的極值曲線，則與y(x)鄰近的任意容許函數(shù)仍設(shè)為 其中 ?y(x)是滿足變分法預(yù)備定理中的 3個一般條件的任意選定的函數(shù)。因此 以前述同樣的方法可以得到 Euler方程，推導(dǎo)過程略。與實際情況一致。 這是一組圓滾線方程，常數(shù) D由圓滾線通過 B點確定，它能使其上質(zhì)點滑下的時間最短。 變分法的幾個步驟： （ 1）從物理問題建立泛函及其條件； （ 2）通過泛函變分，利用變分法基本預(yù)備定理，求得 Euler方程； （ 3）在邊界（或初始）條件下求解 Euler方程，得到極值解。兩個待定常數(shù)由以下兩個邊界條件決定： x=0 時， u=o 。 以下用變分的方法推導(dǎo)。 是變分后從泛函中分離出來的，是為了使泛函滿足極值條件而又必須滿足的邊界條件， 稱為自然邊界條件 ，即 x=L處力的邊界條件。 （ 2）泛函被積函數(shù)中包括的最高階導(dǎo)數(shù)的階次低于微分方程中最高階導(dǎo)數(shù)的階次。 四、其他形式泛函的歐拉方程 具有高階導(dǎo)數(shù)泛函的 Euler方程 泛函： Euler方程： 這是關(guān)于 y(x)的 2n 階微分方程，一般稱為泛函（ 1）的 EulerPoisson方程。受分布荷載 q(x) ，并在自由端處受集中力 P和集中力偶 M作用 ,處于平衡狀態(tài)。 解： 應(yīng)變能 所以 外力功 總位能 （ 1）用 Euler方程求解 將被積函數(shù) 代入 Euler方程 得到： 此即撓曲線方程。 x = 0時， v =0, v′=0 力的邊界條件：梁自由端處的條件。 由變分原理求解連續(xù)介質(zhì)問題的方法稱為變分法。 （ 2）是等效積分形式的一種特殊情形。 （ 2）將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?（ 3）對泛函 ? ( ai ) 求變分，并令等于零； ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? （ ） 0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?（ ） 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的， 故上式成立時，必有： 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式，有： 0)()~( ?? au ΠΠ ??0)()()(21?????????????????????????????niiiΠΠΠaaaaaa????aa )( iΠ其中： ???????????????naaaa?21 得到與待定參數(shù) a 的個數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù) a 。 式中， K 為一 對稱的常系數(shù)矩陣 。 對于二次泛函 ? ( u )， 有： ~ 且此泛函 ? ( u )， 可表示為： ~ PaKaaa
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1