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正文內(nèi)容

計算力學(xué)ppt課件(編輯修改稿)

2025-04-18 05:50 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 得到: 此即撓曲線方程。此方程的解有四個待定常數(shù)需要確定。 x = 0時, v =0, v′=0 力的邊界條件:梁自由端處的條件。 ( 2)直接用泛函變分求解 位移邊界條件: 對第二項進行分部積分: 代入 δΠ式: 由位移邊界條件,即有 于是 要使總位能取駐值,須使 δΠ=0 成立,則必須要有: 含有多個待定函數(shù)的泛函 泛函: Euler方程: 含有多個自變量函數(shù)的泛函 1)、二變量問題 泛函: Euler方程: 其中 例 :泛函 由 Euler方程知:它的極值條件歸結(jié)為求解 Laplace方程: 例 :泛函 由 Euler方程知:它的極值條件歸結(jié)為求解 Poisson方程: 2)、多變量問題 泛函: Euler方程: 其中 1. 3 變分原理和里茲方法 1. 3. 1變分原理的定義和意義 1. 變分原理與變分法 若一連續(xù)介質(zhì)問題存在一標(biāo)量泛函 ? : d Γd ΩΠΓΩ ?? ?????? ),(),()( ??xuuExuuFu ( ) 則連續(xù)介質(zhì)問題的解 u 一定使泛函 ? 對微小變分 ? u 取 駐值 , 即,使泛函 ? 的“變分”等于零: 0)( ?uΠ?( ) 稱為 變分原理。 由變分原理求解連續(xù)介質(zhì)問題的方法稱為變分法。 說明: ( 1)要求存在某一標(biāo)量泛函 ? 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題; 熱傳導(dǎo)問題; 流場問題; 電磁場問題等。 ( 2)是等效積分形式的一種特殊情形。 對式( )求變分,有 0),(),()( ??????? ?? d Γd ΩΠΓΩ?? xuuExuuFu ???( 3)彈性力學(xué)中基本變分原理: 最小勢(位)能原理 最小余能原理 平衡微分方程 +力的邊界條件 幾何方程 +位移邊界條件 2. 變分法的求解過程 ( 1)選取未知函數(shù) u 的近似解; ?????niii1~ NaaNuu( ) 注意: 使 u 滿足 強制邊界條件 。 ( 2)將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?( 3)對泛函 ? ( ai ) 求變分,并令等于零; ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? ( ) 0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?( ) 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的, 故上式成立時,必有: 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式,有: 0)()~( ?? au ΠΠ ??0)()()(21?????????????????????????????niiiΠΠΠaaaaaa????aa )( iΠ其中: ???????????????naaaa?21 得到與待定參數(shù) a 的個數(shù)相等的方程組,由此可求得待定參數(shù) a 。 —— 里茲( Ritz)法 ( ) 特殊情形: ???aa )( iΠ 0?? PKa ( ) 式( )為一 線性方程組 。 式中, K 為一 對稱的常系數(shù)矩陣 。 若泛函 ? ( u ) 中 u 及 對 u的導(dǎo)數(shù)的最高方次為二次,則稱此泛函 ? ( u )為 二次泛函 。 對于二次泛函 ? ( u ), 有: ~ 且此泛函 ? ( u ), 可表示為: ~ PaKaaa ?? ??21)(Π( ) 1. 3. 2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立 1. 線性、自伴隨微分算子 ? 如果微分方程具有 線性、自伴隨的性質(zhì),則: ? 不僅可以建立它的等效積分形式,并可利用加權(quán)余量法求其近似解; ? 還可建立與之相 等效的變分原理 ,基于它的另一種近似求解方法 ——Ritz法。 線性、自伴隨微分方程的定義: ?微分方程 為微分算子 若 具有性質(zhì): 則稱 為 線性微分算子 。 對上式 分部積分 , 直至 u 的導(dǎo)數(shù)消失 , 若 內(nèi)積后,求積; 得: 2. 泛函的構(gòu)造 ?設(shè)有 微分方程 : 利用 Galerkin(伽遼金) 格式 整理成: 就得到泛函 ? 因為算子是線性、自伴隨的,所以: 微分方程的等效積分形式: 整理得到: 結(jié)論: 0)( ?uΠ?( 1)對于線性、自伴隨微分方程,一般都存在一標(biāo)量泛函 ?( u) ,原微分方程的邊值問題等價于該 泛函 ?( u)取駐值,即: ( 2)對于線性、自伴隨微分方程,其 等效積分的 Galerkin 形式 等價于該 泛函 ?( u) 的變分等于零,即: ?( u)取駐值。 變分原理: 變分原理是針對以下積分形式定義的標(biāo)量泛函而言, 對于 未知場函數(shù) 任意一個微小的變化 使 取駐值的 即為問題的控制方程及邊界條件的解。 自然變分原理 原問題 微分方程和邊界條件的等效積分的 Galerkin提法 等效于 泛函取駐值 。 反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。 這里 泛函可以通過等效積分的 Galerkin提法得到。 這種變分原理稱
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