計算力學ppt課件(編輯修改稿)
2025-04-18 05:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 得到： 此即撓曲線方程。此方程的解有四個待定常數(shù)需要確定。 x = 0時， v =0, v′=0 力的邊界條件：梁自由端處的條件。 （ 2）直接用泛函變分求解 位移邊界條件： 對第二項進行分部積分： 代入 δΠ式： 由位移邊界條件，即有 于是 要使總位能取駐值，須使 δΠ=0 成立，則必須要有： 含有多個待定函數(shù)的泛函 泛函： Euler方程： 含有多個自變量函數(shù)的泛函 1）、二變量問題 泛函： Euler方程： 其中 例 ：泛函 由 Euler方程知：它的極值條件歸結為求解 Laplace方程： 例 ：泛函 由 Euler方程知：它的極值條件歸結為求解 Poisson方程： 2）、多變量問題 泛函： Euler方程： 其中 1． 3 變分原理和里茲方法 1． 3． 1變分原理的定義和意義 1. 變分原理與變分法 若一連續(xù)介質(zhì)問題存在一標量泛函 ? ： d Γd ΩΠΓΩ ?? ?????? ),(),()( ??xuuExuuFu （ ） 則連續(xù)介質(zhì)問題的解 u 一定使泛函 ? 對微小變分 ? u 取 駐值 ， 即，使泛函 ? 的“變分”等于零： 0)( ?uΠ?（ ） 稱為 變分原理。 由變分原理求解連續(xù)介質(zhì)問題的方法稱為變分法。 說明： （ 1）要求存在某一標量泛函 ? 連續(xù)介質(zhì)力學問題； 熱傳導問題； 流場問題； 電磁場問題等。 （ 2）是等效積分形式的一種特殊情形。 對式（ ）求變分，有 0),(),()( ??????? ?? d Γd ΩΠΓΩ?? xuuExuuFu ???（ 3）彈性力學中基本變分原理： 最小勢（位）能原理 最小余能原理 平衡微分方程 +力的邊界條件 幾何方程 +位移邊界條件 2. 變分法的求解過程 （ 1）選取未知函數(shù) u 的近似解； ?????niii1~ NaaNuu（ ） 注意： 使 u 滿足 強制邊界條件 。 （ 2）將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?（ 3）對泛函 ? ( ai ) 求變分，并令等于零； ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? （ ） 0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?（ ） 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的， 故上式成立時，必有： 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式，有： 0)()~( ?? au ΠΠ ??0)()()(21?????????????????????????????niiiΠΠΠaaaaaa????aa )( iΠ其中： ???????????????naaaa?21 得到與待定參數(shù) a 的個數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù) a 。 —— 里茲（ Ritz）法 （ ） 特殊情形： ???aa )( iΠ 0?? PKa （ ） 式（ ）為一 線性方程組 。 式中， K 為一 對稱的常系數(shù)矩陣 。 若泛函 ? ( u ) 中 u 及 對 u的導數(shù)的最高方次為二次，則稱此泛函 ? ( u )為 二次泛函 。 對于二次泛函 ? ( u )， 有： ~ 且此泛函 ? ( u )， 可表示為： ~ PaKaaa ?? ??21)(Π（ ） 1． 3． 2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立 1. 線性、自伴隨微分算子 ? 如果微分方程具有 線性、自伴隨的性質(zhì)，則： ? 不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權余量法求其近似解； ? 還可建立與之相 等效的變分原理 ，基于它的另一種近似求解方法 ——Ritz法。 線性、自伴隨微分方程的定義： ?微分方程 為微分算子 若 具有性質(zhì)： 則稱 為 線性微分算子 。 對上式 分部積分 ， 直至 u 的導數(shù)消失 ， 若 內(nèi)積后，求積； 得： 2. 泛函的構造 ?設有 微分方程 ： 利用 Galerkin（伽遼金） 格式 整理成： 就得到泛函 ? 因為算子是線性、自伴隨的，所以： 微分方程的等效積分形式： 整理得到： 結論： 0)( ?uΠ?（ 1）對于線性、自伴隨微分方程，一般都存在一標量泛函 ?（ u） ,原微分方程的邊值問題等價于該 泛函 ?（ u）取駐值，即： （ 2）對于線性、自伴隨微分方程，其 等效積分的 Galerkin 形式 等價于該 泛函 ?（ u） 的變分等于零，即： ?（ u）取駐值。 變分原理： 變分原理是針對以下積分形式定義的標量泛函而言， 對于 未知場函數(shù) 任意一個微小的變化 使 取駐值的 即為問題的控制方程及邊界條件的解。 自然變分原理 原問題 微分方程和邊界條件的等效積分的 Galerkin提法 等效于 泛函取駐值 。 反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。 這里 泛函可以通過等效積分的 Galerkin提法得到。 這種變分原理稱
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