【正文】 ??????????niiiΠΠΠaaaaaa????aa )( iΠ其中： ???????????????naaaa?21 得到與待定參數(shù) a 的個數(shù)相等的方程組，由此可求得待定參數(shù) a 。 由變分原理求解連續(xù)介質問題的方法稱為變分法。 解： 應變能 所以 外力功 總位能 （ 1）用 Euler方程求解 將被積函數(shù) 代入 Euler方程 得到： 此即撓曲線方程。 四、其他形式泛函的歐拉方程 具有高階導數(shù)泛函的 Euler方程 泛函： Euler方程： 這是關于 y(x)的 2n 階微分方程，一般稱為泛函（ 1）的 EulerPoisson方程。 是變分后從泛函中分離出來的，是為了使泛函滿足極值條件而又必須滿足的邊界條件， 稱為自然邊界條件 ，即 x=L處力的邊界條件。兩個待定常數(shù)由以下兩個邊界條件決定： x=0 時， u=o 。 這是一組圓滾線方程，常數(shù) D由圓滾線通過 B點確定，它能使其上質點滑下的時間最短。因此 以前述同樣的方法可以得到 Euler方程，推導過程略。 解： 設 y(x)就是欲求的極值曲線，在 y(x)的近旁構造一類可取函數(shù) ε為與 x無關的微小參量， ?y(x)是滿足變分法預備定理中的 3個一般條件的任意選定的函數(shù)。 泛函變分的定義： 即泛函 ?[y(x)]的變分 ? ?是泛函隨宗量 y(x)的微小增量 δy而產(chǎn)生的增量 ??的線性主要部分。 什么是函數(shù) y=f(x)的微分？ 例如： y= f(x) = sinx 如果 x→ x+Δx，則函數(shù)的增量 從式中可看到： Δy與 Δx之間的函數(shù)關系是非線性的。接近度的階數(shù)越高，曲線接近得越好。 Euler 于 1744年解決。 等周問題。 求曲面 ?(x,y,z)=0上兩定點A(x1,y1,z1)、 B(x2,y2,z2)間長度最短的曲線。在 A、 B兩端點固定的邊界條件下，從 A滑到 B所需的時間最短。 y(x)亦稱為泛函 Π的 宗量 。 泛函的定義 設 {y(x)}是已給的函數(shù)集，如果對于這個函數(shù)集合中任一函數(shù) y(x)恒有某個確定的數(shù)與之對應，記為 Π[y(x)]，則記 Π[y(x)]是定義于集合 {y(x)}上的一個泛函。 假設 A在坐標原點，故質點由 A滑到 B的速度為 則 T為 實例 3 假設有一不計自重的彈性桿 OB,長為 L，截面面積 A，彈性模量 E。 L 是一個泛函： 實例 2 在 xy平面內，假設在 AB兩定點連成的曲線上有一質點。 簡單地說，泛函也是一種 “ 函數(shù) ” ，它的獨立變量一般不是通常函數(shù)的 “ 自變量 ” ，而是通常函數(shù)本身。 泛函是函數(shù)的函數(shù)。此質點在重力的作用下，無摩擦地從 A滑到 B需要一定的時間 T。 O端固定， x 軸沿桿的軸線向下， B端受拉力 P作用。 泛函的基本點 （ 1）泛函有它的定義域。 （ 2）泛函 Π[y(x)]與可取函數(shù) y(x)有明確的對應關系。 通過質點滑過曲線所需時間的變分為零，即 求得最速降線。 問題歸結為求泛函 的極小值。 在長度一定的封閉曲線中，什么樣的曲線所圍面積最大？ 已知曲線用參數(shù)表達為x=x(s),y=y(s)。 二、變分及其特性 泛函宗量的變分 定義： 對于泛函 Π[y(x)]， y(x)是定義域中的任何元素，如果 y(x)由 y0(x)變成 y1(x)，則 y1(x)y0(x) ，則叫做 y(x)在 y0(x)上的變分，記作 δy=y1(x)y0(x) 常用 δy=y1(x)y0(x)作為泛函宗量的變分。 Lagrange引用小量 ε 保證曲線有 k 階接近度： 小量 ε →0 。 如果函數(shù) y= f(x)在給定點 x 處有導數(shù) f?(x) ，則 于是 所以 第一項 即 dy 是 Δx 的線性函數(shù)， 第二項， 是比 Δx 高階的無窮小量 所以 函數(shù)的微分 dy=f?(x)Δx既是函數(shù)增量Δy的線性部分，又是 Δy 的主要部分，即“ 線性主要部分 ”。 （ 2）拉格朗日泛函變分定義 如果泛函 ?[y(x)]的變分 存在，那么此變分等于函數(shù) 的導數(shù)在 ε=0 處的值， 即 泛函的駐值 （ 1）函數(shù)的駐值 如果函數(shù) y(x) 在 x=x0附近的任意點上的值都不大（?。┯?y(x0)， 即 則稱函數(shù) y(x) 在 x=x0上達到極大（極?。?，而且在 x=x0上有 對于多元函數(shù) 根據(jù)泰勒公式： 式中 是關于增量的一次、二次 … 齊次式，其中 使多元函數(shù) 為極大或極小的 條件是： 也可寫成： 稱為函數(shù)的駐值條件，其解稱為駐點，駐點處的函數(shù)值稱為駐值。 （ 1） （ 2） 而且 ?y(x)具有下列邊界條件： （ 3） 將（ 2）代入（ 1），得到以為參變量 ε的泛函： 根據(jù)泛函取極值的條件及 泛函變分的Lagrange定義 ： 即 由于 且 ε=0時 所以 將（ 4）第二式進行分部積分： （ 4） 因 （ 5） 所以（ 5）變?yōu)椋? 則（ 4）式為： 由變分法預備定理得： （ EulerLagrange方程） ?注意 ： Euler方程式中的第二項為全導數(shù)。 利用歐拉方程求解泛函極值問題 （ 1）實例 1（過 A、 B兩定點間長度最短的曲線）中，泛函形式為： 被積函數(shù)為 代入 Euler方程 得： 解得 代入邊界條件后得 A、 B兩點間最短曲線為直線。 也稱其為最速降線（旋輪線或擺線）。 x=L