計算力學(xué)ppt課件-文庫吧資料
2025-03-28 05:50本頁面
【正文】 為： )1(185~ xxu ??說明： 此解同 Galerkin 法的一項近似解。 1． 3． 3 里茲法（ RitZ）方法 ——基于變分原理的近似解法 Ritz（里茲）法 ——基于變分原理的近似解法 ： 1）假設(shè)近似解： 為待定參數(shù)， 滿足強(qiáng)制邊界條件。 含 m~2m1 階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為 自然邊界條件 0)( ?uΠ?等價于泛函 ?（ u）取駐值： 極大值： 極小值： 不定： 0)(2 ?uΠ?0)(2 ?uΠ?0)(2 ?uΠ?—— 取決于泛函 ?（ u）的特性 ?（ u） 極值性： 例： 二維熱傳導(dǎo)問題： 0)()()( ???????????? QykyxkxA ???:Ω:?Γ 0?? ??:qΓ0???? qnk ??ΓqΓΩ（ 2）研究其極值性。 3. 泛函 ?(u) 的極值性 強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件： 若算子 L 為偶數(shù)（ 2m）階的，即對于 2m 階的微分方程： 對 0)( ?? fuL （在域 ? 內(nèi) ） （在邊界 ? 上） 0)( ?uB含 0 ~ m1 階導(dǎo)數(shù)的邊界條件，稱為 強(qiáng)制邊界條件。 這種變分原理稱為自然變分原理 。 反之泛函取駐值則等效于微分方程和邊界條件。 變分原理： 變分原理是針對以下積分形式定義的標(biāo)量泛函而言， 對于 未知場函數(shù) 任意一個微小的變化 使 取駐值的 即為問題的控制方程及邊界條件的解。 線性、自伴隨微分方程的定義： ?微分方程 為微分算子 若 具有性質(zhì)： 則稱 為 線性微分算子 。 若泛函 ? ( u ) 中 u 及 對 u的導(dǎo)數(shù)的最高方次為二次，則稱此泛函 ? ( u )為 二次泛函 。 —— 里茲（ Ritz）法 （ ） 特殊情形： ???aa )( iΠ 0?? PKa （ ） 式（ ）為一 線性方程組 。 對式（ ）求變分，有 0),(),()( ??????? ?? d Γd ΩΠΓΩ?? xuuExuuFu ???（ 3）彈性力學(xué)中基本變分原理： 最小勢（位）能原理 最小余能原理 平衡微分方程 +力的邊界條件 幾何方程 +位移邊界條件 2. 變分法的求解過程 （ 1）選取未知函數(shù) u 的近似解； ?????niii1~ NaaNuu（ ） 注意： 使 u 滿足 強(qiáng)制邊界條件 。 說明： （ 1）要求存在某一標(biāo)量泛函 ? 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題； 熱傳導(dǎo)問題； 流場問題； 電磁場問題等。 （ 2）直接用泛函變分求解 位移邊界條件： 對第二項進(jìn)行分部積分： 代入 δΠ式： 由位移邊界條件，即有 于是 要使總位能取駐值，須使 δΠ=0 成立，則必須要有： 含有多個待定函數(shù)的泛函 泛函： Euler方程： 含有多個自變量函數(shù)的泛函 1）、二變量問題 泛函： Euler方程： 其中 例 ：泛函 由 Euler方程知：它的極值條件歸結(jié)為求解 Laplace方程： 例 ：泛函 由 Euler方程知：它的極值條件歸結(jié)為求解 Poisson方程： 2）、多變量問題 泛函： Euler方程： 其中 1． 3 變分原理和里茲方法 1． 3． 1變分原理的定義和意義 1. 變分原理與變分法 若一連續(xù)介質(zhì)問題存在一標(biāo)量泛函 ? ： d Γd ΩΠΓΩ ?? ?????? ),(),()( ??xuuExuuFu （ ） 則連續(xù)介質(zhì)問題的解 u 一定使泛函 ? 對微小變分 ? u 取 駐值 ， 即，使泛函 ? 的“變分”等于零： 0)( ?uΠ?（ ） 稱為 變分原理。此方程的解有四個待定常數(shù)需要確定。求梁內(nèi)各點(diǎn)隨 x 變化的位移 v(x)。其解的 2n個待定常數(shù)由 2n個端點(diǎn)條件決定： (1) 例： 假設(shè)有一不計自重的懸臂梁 ,長為 L，截面面積 A，彈性模量 E。因此，通過泛函進(jìn)行求解更加方便。 利用泛函形式求解的 優(yōu)點(diǎn) ： （ 1）泛函中包含了微分方程的第二類邊界條件（自然邊界條件），而在微分方程中卻不包含，需作專門考慮。令 δΠ=0，得 在 x=0處， u=o， δu=0，但 x=L處， δu≠0, 所以 由于在 (0,L)開區(qū)間內(nèi) δu的任意性，得 微分方程： AE u”=0 (a) 邊界條件： x = L時， AE u′= p (b) x=0 處， u = 0 (c) （ c)式為方程 (a)的 第一類邊界條件 ， 也稱為位移邊界條件，是泛函極值曲線首先要滿足的邊界條件，所以也稱為 強(qiáng)加邊界條件 . ?(b) 式為 第二類邊界條件 。 x=L 時， P=p。 （ 3） 實(shí)例 3（受拉桿件問題）中 ，泛函形式為： 將被積函數(shù) 代入 Euler方程得： 求解得： 位移 u 在桿內(nèi)的分布是線性的。 也稱其為最速降線（旋輪線或擺線）。 （ 2） 實(shí)例 2（最速降線問題）中 ，泛函形式為： 利用展開后的 Euler方程： 因被積函數(shù) F不顯含 x，可簡化為： 現(xiàn)證明： 即證： 而 所以 即證明了 （ 6） 將被積函數(shù) 代入（ 6），得： 分離變量得： 引入?yún)?shù) θ，令 則 Euler 方程的解為 令 2θ=π? ，則解化為 ： 又當(dāng) ? =0 時，取 x= 0 = y, E= D/2 ,于是 這組方程是半徑為 D/2的輪沿著 x 軸滾動時
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