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2025-03-19 05:50 本頁面
【正文】 關(guān)于強制邊界條件與自然邊界條件 若微分 算子是線性自伴隨 的， Galerkin法的等效積分形式 問題泛函 近似場函數(shù) 應(yīng)滿足強制邊界條件 關(guān)于泛函取極值： 根據(jù) Galerkin格式或變分原理， 微分算子線性自伴隨 ： ??=0 假設(shè)微分算子 L的最高階導(dǎo)數(shù)是 2m偶數(shù)階， 則： 真解使得泛函取極值， 即，或 極大值 或 極小值 。 ： 1）經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性自伴隨微分方程。若用 Ritz法（或最小勢能原理）求解，試 （ 1）構(gòu)造兩種形式的撓度近似函數(shù)（三角函數(shù)形式、多項式）； （ 2）在上述中，任選一種求梁的撓度（取一項待定系數(shù)） 。 當存在變分原理時，變分法（ Ritz法）與 Galerkin 法結(jié)果相同。 試：（ 1）建立它的泛函； —— 強制邊界條件 —— 自然邊界條件 （ 1） 解： 原問題的 Galerkin等效積分（變分）形式可表示為： yd x dQykyxkxΩ?? ???????? ?????????? )()( ???? 0??????? ??? ?Γd Γqnk ???分步積分： yd x dxkxΩ?? ???? )( ?????? ????????? Γ xΩ d Γnxkyd x dxkx ????????? ? ???????????????????????????ΓΓ xΩ qd Γnxkyd x dxk221yd x dykyΩ?? ???? )( ?????? ???????????????????????qΓyΩ d Γnykyd x dyk?????221同理，得： 代入 （ 1） ： ??? ?????????????????????????????????????????qΓyxΩ d Γnynxkyd x dQykxk????????2221210??????? ???? ?qΓd Γqnk ???n???0212122??????????????????????????????? ???qΓΩd Γqyd x dQykxk ??????0212122???????????????????????????????????????????qΓΩd Γqyd x dQykxk ?????0)( ??? Π對照變分原理： 得到： ??? ??????????????????????????????qΓΩd Γqyd x dQykxkΠ ?????222121)( （ 1） 對（ 1）式求二階變分： ??? ??????? ???????????qΓΩd Γqyd x dQyykxxkΠ ???????????? )()()( ???? ????把 寫成如下形式 yd x dykxkΠΩ?? ????????????????????????????222 )( ?????? 0?得到，在 0)( ??? Π時，泛函 ?（ ?）取極小值。 例如，彈性力學(xué)中的最小位能原理、粘性流體中最小能力耗散原理，稱為自然變分原理。 自然變分原理 原問題 微分方程和邊界條件的等效積分的 Galerkin提法 等效于 泛函取駐值 。 對于二次泛函 ? ( u )， 有： ~ 且此泛函 ? ( u )， 可表示為： ~ PaKaaa ?? ??21)(Π（ ） 1． 3． 2線性、自伴隨微分方程變分原理的建立 1. 線性、自伴隨微分算子 ? 如果微分方程具有 線性、自伴隨的性質(zhì)，則： ? 不僅可以建立它的等效積分形式，并可利用加權(quán)余量法求其近似解； ? 還可建立與之相 等效的變分原理 ，基于它的另一種近似求解方法 ——Ritz法。 （ 2）將函數(shù) u 的近似解代入泛函 ? ( u ) : ~ ~ )()~( au ΠΠ ?（ 3）對泛函 ? ( ai ) 求變分，并令等于零； ~ 0)()~( ?? au ΠΠ ?? （ ） 0)()()()( 2211??????????? nniiiiΠΠΠΠ aaaaaaaaaa ???? ?（ ） 由于 naaa ??? , 21 ?是任意的， 故上式成立時，必有： 0)(,0)(,0)(21?????????niii ΠΠΠaaaaaa ?將上式表示成矩陣形式，有： 0)()~( ?? au ΠΠ ??0)()()(21???????????????????
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