計(jì)算力學(xué)ppt課件-展示頁(yè)
2025-03-31 05:50本頁(yè)面
【正文】 ，輪周上 A點(diǎn)軌跡的方程。 利用歐拉方程求解泛函極值問(wèn)題 （ 1）實(shí)例 1（過(guò) A、 B兩定點(diǎn)間長(zhǎng)度最短的曲線(xiàn)）中，泛函形式為： 被積函數(shù)為 代入 Euler方程 得： 解得 代入邊界條件后得 A、 B兩點(diǎn)間最短曲線(xiàn)為直線(xiàn)。并且 要使泛函取極值，必須滿(mǎn)足駐值條件 ??=0 ，而 記為 分別為泛函的一階、二階、 三階變分。 （ 1） （ 2） 而且 ?y(x)具有下列邊界條件： （ 3） 將（ 2）代入（ 1），得到以為參變量 ε的泛函： 根據(jù)泛函取極值的條件及 泛函變分的Lagrange定義 ： 即 由于 且 ε=0時(shí) 所以 將（ 4）第二式進(jìn)行分部積分： （ 4） 因 （ 5） 所以（ 5）變?yōu)椋? 則（ 4）式為： 由變分法預(yù)備定理得： （ EulerLagrange方程） ?注意 ： Euler方程式中的第二項(xiàng)為全導(dǎo)數(shù)。 變分的計(jì)算方法 微分與變分能夠互調(diào)： 積分與變分能夠互調(diào)： 設(shè) 則 設(shè) 則 設(shè) 則 設(shè) 則 三、歐拉方程 變分法的基本 預(yù)備定理 如果函數(shù) F(x) 在區(qū)間 (x1,x2)上 連續(xù) ，而 任意選定的函數(shù) ?y(x)滿(mǎn)足下列一般條件： （ 1）一階或若干階可微； （ 2） （ 3） 并且有下式成立 則在區(qū)間 (x1,x2)上有 F (x ) ≡ 0 歐拉方程的建立 假設(shè)一個(gè)自變量 x, 一個(gè)獨(dú)立函數(shù) y ,一般泛函形式如下： 如圖所示，如果存在過(guò)定點(diǎn) A、 B兩點(diǎn)并且其一階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的極值曲線(xiàn)使上式泛函取極值，求此極值曲線(xiàn)。 （ 2）拉格朗日泛函變分定義 如果泛函 ?[y(x)]的變分 存在，那么此變分等于函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)在 ε=0 處的值， 即 泛函的駐值 （ 1）函數(shù)的駐值 如果函數(shù) y(x) 在 x=x0附近的任意點(diǎn)上的值都不大（小）于 y(x0)， 即 則稱(chēng)函數(shù) y(x) 在 x=x0上達(dá)到極大（極?。以?x=x0上有 對(duì)于多元函數(shù) 根據(jù)泰勒公式： 式中 是關(guān)于增量的一次、二次 … 齊次式，其中 使多元函數(shù) 為極大或極小的 條件是： 也可寫(xiě)成： 稱(chēng)為函數(shù)的駐值條件，其解稱(chēng)為駐點(diǎn)，駐點(diǎn)處的函數(shù)值稱(chēng)為駐值。因?yàn)? 是關(guān)于 ?y的 第二項(xiàng)： 所以 于是 此式與函數(shù)的微分式非常相似，即泛函的變分亦可理解為兩部分：第一部分是 δy 的線(xiàn)性泛函；第二部分是比 δy 更高階次的無(wú)窮小量。 如果函數(shù) y= f(x)在給定點(diǎn) x 處有導(dǎo)數(shù) f?(x) ，則 于是 所以 第一項(xiàng) 即 dy 是 Δx 的線(xiàn)性函數(shù)， 第二項(xiàng)， 是比 Δx 高階的無(wú)窮小量 所以 函數(shù)的微分 dy=f?(x)Δx既是函數(shù)增量Δy的線(xiàn)性部分，又是 Δy 的主要部分，即“ 線(xiàn)性主要部分 ”。 泛函的變分 （ 1）泛函變分是泛函增量的線(xiàn)性主部 “泛函變分”可以說(shuō)是“函數(shù)微分”概念的推廣。 Lagrange引用小量 ε 保證曲線(xiàn)有 k 階接近度： 小量 ε →0 。 函數(shù)接近度的概念 如果兩條曲線(xiàn)滿(mǎn)足以下條件： 則稱(chēng)曲線(xiàn) y=y(x), 有 k 階接近度。 二、變分及其特性 泛函宗量的變分 定義： 對(duì)于泛函 Π[y(x)]， y(x)是定義域中的任何元素，如果 y(x)由 y0(x)變成 y1(x)，則 y1(x)y0(x) ，則叫做 y(x)在 y0(x)上的變分，記作 δy=y1(x)y0(x) 常用 δy=y1(x)y0(x)作為泛函宗量的變分。 ——條件變分 問(wèn)題。 在長(zhǎng)度一定的封閉曲線(xiàn)中，什么樣的曲線(xiàn)所圍面積最大？ 已知曲線(xiàn)用參數(shù)表達(dá)為x=x(s),y=y(s)。 —— John Bornouli 于 1697年解決。 問(wèn)題歸結(jié)為求泛函 的極小值。 δT =0 短程線(xiàn)問(wèn)題。 通過(guò)質(zhì)點(diǎn)滑過(guò)曲線(xiàn)所需時(shí)間的變分為零，即 求得最速降線(xiàn)。 對(duì)變分學(xué)發(fā)展有重大影響的三個(gè)歷史命題： 最速降線(xiàn)問(wèn)題。 （ 2）泛函 Π[y(x)]與可取函數(shù) y(x)有明確的對(duì)應(yīng)關(guān)系。定義域內(nèi)的函數(shù)稱(chēng)為 可取函數(shù)或容許函數(shù) 。 泛函的基本點(diǎn) （ 1）泛函有它的定義域。 在線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，定義應(yīng)變能密度 由于 故桿內(nèi)總應(yīng)變能為 拉力 P所作的功： 桿的總勢(shì)能： 因此 ?是一個(gè)泛函。 O端固定， x 軸沿桿的軸線(xiàn)向下， B端受拉力 P作用。所以 T 是一個(gè)泛函。此質(zhì)點(diǎn)在重力的作用下，無(wú)摩擦地從 A滑到 B需要一定的時(shí)間 T。 實(shí)例 1 在 xy平面內(nèi)有 A、 B兩定點(diǎn)，連接 A、 B有很多條曲線(xiàn) y=y(x),x 是自變量， y是獨(dú)立函數(shù)，曲線(xiàn)的長(zhǎng)度 L是隨不同的曲線(xiàn) y 而定的。 泛函是函數(shù)的函數(shù)。2022年 4月 14日 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) xxx 一、泛函的定義 補(bǔ)充內(nèi)容 變分法 是在一組容許函數(shù)中選定一個(gè)函數(shù)，使給定的泛函取駐值 (研究求泛函極大（?。┲档姆椒?)。 簡(jiǎn)單地說(shuō)，泛函也是一種 “ 函數(shù) ” ，它的獨(dú)立變量一般不是通常函數(shù)的 “ 自變量 ” ，而是通常函數(shù)本身。 說(shuō)明泛函具體含義的三個(gè)實(shí)例。 L 是一個(gè)泛函： 實(shí)例 2 在 xy平面內(nèi)，假設(shè)在 AB兩定點(diǎn)連成的曲線(xiàn)上有一質(zhì)點(diǎn)。 T是隨不同的曲線(xiàn)y(x)而改變的。 假設(shè) A在坐標(biāo)原點(diǎn)，故質(zhì)點(diǎn)由 A滑到 B的速度為 則 T為 實(shí)例 3 假設(shè)有一不計(jì)自重的彈性桿 OB,長(zhǎng)為 L，截面面積 A，彈性模量 E。 受力以后，桿內(nèi)各點(diǎn)產(chǎn)生隨 x變化的位移 u(x),因而產(chǎn)生應(yīng)變 ε 和應(yīng)力 σ 。 泛函的定義 設(shè) {y(x)}是已給的函數(shù)集，如果對(duì)于這個(gè)函數(shù)集合中任一函數(shù) y(x)恒有某個(gè)確定的數(shù)與之
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