計(jì)算力學(xué)ppt課件-資料下載頁
2025-03-22 05:50本頁面
【正文】 代入式（ 4），有 021211022??????????????????? dxuxudxdu?得到： dxuxudxduuΠ ??????????????????? 10222121)( （ 5） （ 2）選取試探函數(shù)，建立里茲法方程求解 （ 1） 選取一項(xiàng)多項(xiàng)近似解 )1(~ 1 xxau ??滿足強(qiáng)制邊界條件 )21(~1 xadxud ??代入式（ 5），得 ? ? dxxxaxxaxaΠ ? ?????? ??????? 10212221221 )1()1(212121121 12110321 aa ?????????由 ??（ a） = 0，得 012110311???????????? aaΠ1851 ?a所求近似解為： )1(185~ xxu ??說明： 此解同 Galerkin 法的一項(xiàng)近似解。 當(dāng)存在變分原理時(shí)，變分法（ Ritz法）與 Galerkin 法結(jié)果相同。 （ 2） 選取近似解為： xaxau 21 s in~ ??使其滿足強(qiáng)制邊界條件： 顯然，滿足： 。0,0 ?? ux。0,1 ?? ux11s in0 21 ??? aa由此求得： 1s in12 aa ??? ?1s inc o s~1 ?? xadxud? ?1s ins in~ 1 ??? xxau? ?? ??? ??? 10221 1s i nc os21 xaΠ 221 )1s in( s in21 xxa ???dxxxxa )1s in( s in1 ??代入式（ 5）： ?????? ??? 1c os1s i n321s i n21 21aΠ ?????? ?? 1c os1s in321a?????? ??? 1c os1s i n321s i n21 21aΠ?????? ?? 1c os1s in321a?????? ???? 1c o s1s in321aΠ 0)11s in(1 ???? a1s in11 ?a所求解為： xxu ??1s ins in~與精確解相同 例： 一端固定，另一端自由的梁，其跨度為 l， 抗彎剛度 EI 為常數(shù)，分別承受均勻分布載荷 q、集中力 P 的作用，如圖所示。若用 Ritz法（或最小勢能原理）求解，試 （ 1）構(gòu)造兩種形式的撓度近似函數(shù)（三角函數(shù)形式、多項(xiàng)式）； （ 2）在上述中，任選一種求梁的撓度（取一項(xiàng)待定系數(shù)） 。 解： （ 1）構(gòu)造撓度近似函數(shù) w（ x）； qdxxdwEI ?44 )( )0( lx ??, 0)( 0 ??xxw 0)(0??xdxxdw, 0)(22?? lxdxxdwEI , )(33PdxxdwEIlx?? 強(qiáng)制邊界條件 自然邊界條件 ?)( xw三角函數(shù)形式： ? ?????? ??ii lxia2)12(c o s1 ?多項(xiàng)式形式： ?)( xw 12 ?? iii xax)( 212 ???? xaax（ 2）求梁的撓度（取一項(xiàng)待定系數(shù)） ； 該梁的能量泛函： ? ?????????ldxdxxdwEIΠ0222 )(21)()(0 lPwdxxqwl ?? ?取一項(xiàng)多項(xiàng)式近似解： 21)( xaxw ?1222)( adxxdw ?代入泛函式，得： ? ??? l dxaEIΠ021221 21021 lPadxxqal ?? ?12321 32 aPlqlEI l a???????? ???建立里茲（ Ritz）法方程求解： , 01???aΠ 034 231 ??????????? PlqlEI l aE I lPlqla123 231??所求近似解： 223123)( xE I lPlqlxw ??2. 解的收斂性 1）連續(xù)性 滿足 Cm1階連續(xù)性 要求 要求 2）完備性 取自完備的函數(shù)序列 1) 近似解對 全域 而言 2) 試探函數(shù)要求滿足 一定的邊界條件 ，近似解的精度與 試探函數(shù) 的選擇有密切關(guān)系。 3) 待定系數(shù)不表示特定的物理意義。 4) 如果我們對問題了解比較清楚，能找到合適的試函數(shù)，可以說事半功倍，但缺乏一般性。 ： 1）經(jīng)典意義上的泛函變分理論只適應(yīng)于線性自伴隨微分方程。 2）收斂性有嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)（泛函分析）。 3）事先滿足強(qiáng)制邊界條件，則解有明確的 上下界性質(zhì)。如不事先滿足，需要進(jìn)行處理 （約束變分原理）。 關(guān)于強(qiáng)制邊界條件與自然邊界條件 若微分 算子是線性自伴隨 的， Galerkin法的等效積分形式 問題泛函 近似場函數(shù) 應(yīng)滿足強(qiáng)制邊界條件 關(guān)于泛函取極值： 根據(jù) Galerkin格式或變分原理， 微分算子線性自伴隨 ： ??=0 假設(shè)微分算子 L的最高階導(dǎo)數(shù)是 2m偶數(shù)階， 則： 真解使得泛函取極值， 即，或 極大值 或 極小值 。
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