【正文】 時，量子力學將回到經(jīng)典力學，或者說 量子效應 可以忽略。下面我們將看到，對于微觀粒子原則上這是不可能的。 Heisenberg的不確定關系 (也稱為測不準關系 )為 / 2 , / 2 / 2x y zp x p y p z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?六、不確定度關系 上式表明微觀粒子的位置（坐標）和動量 不可能同時取確定值 ，這是 波粒二象性 的反映，當 0?0?0?可以參看書 P11例題 1－例題 3 我們考慮 “ 方脈沖 ” 作為另一個例子 0e x p [ / ] ||( ) ||0ip x xax fo rxa???? ???它延伸到在點 x = 0 周圍的一個 2a 的區(qū)域。 圖表示這兩個波包的 函數(shù) 2| ( ) |p? 在點 p0 出現(xiàn)十分尖銳的峰值， p0 的 0 ( / )p p n a???時達到），極小值被一些 極 20[1 /( ) ]pp? 減小，人們可以 ()p? 主要地集中在 主 | ( ) |p? 的第 一對 2/pa??? 之間。當然，在我們還沒有對量度各種不確定度的量 △ x,△ p，等等采用一種精確的定義之前，這是不可避免的。但是，人們必須堅持這一事實，即 測不準關系的根本意義已經(jīng)包含在數(shù)量級的結(jié)果之中 ，這并未低估嚴格陳述可能有的優(yōu)點： 在任何情況下，都不能認為量子粒子同時有嚴格精確的位置和嚴格精確的動量。 ? 時間 — 能量測不準關系 /2tE? ? ? 是處于某個能級的寬度， 是粒子呆在對應能級上的平均時間（或壽命），原子在激發(fā)態(tài)上是不穩(wěn)定的，即只存在一定時間，因此根據(jù)時間－能量測不準關系可知，激發(fā)態(tài)能級存在一定寬度，這就是原子光譜存在自然寬度 的原因，也是激光所發(fā)出的光不可能 只包含一種波長 的原因。利用統(tǒng)計平均的方法，可以算出該力學量的平均值，進而和實驗觀測值做比較。在這種意義下，一般認為，波函數(shù)描寫了粒子的運動狀態(tài)。一般認為，一旦給出了波函數(shù) ，就確定了微觀粒子的運動狀態(tài)。當給定描述粒子運動狀態(tài)的波函數(shù) 后， ???七、 力學量的平均值與算符的引進 ?： 111sii siiisiiiANNANN???????(8) 如果通過一系列的實驗測定系統(tǒng)的一個狀態(tài)參量 ，得到相應的值為 ，在總的實驗次數(shù) N中，得到這些值的次數(shù)分別是 ，則 的（算術）平均值為 12, .... sA A A12, .... sN N N??當總的實驗次數(shù) 時，量 的平均值的極限便是 的統(tǒng)計平均值 N ?? ?? 式中 為量 出現(xiàn)值 的幾率。對以波函數(shù) 描寫的狀態(tài)，按照波函數(shù)的統(tǒng)計解釋， 表示在 t時刻在 中找到粒子的幾率，因此坐標 的平均值顯然是 ( , )rt?2( , )r t dr?r r d r??r2* ( , ) ( , )( , )r t r r t d rrrr t d r???????????? ? ? ???(11) 假設波函數(shù) 已經(jīng)歸一化，即 則上式可寫為 ( , )rt? 2( , ) 1r t d r???????* ( , ) ( , )r r r t r r t dr???????? ?? ? 坐標 的函數(shù) 的平均值是 r ()Fr*( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )F r F r r t F r r t d r???????? ?? ?(12) 這里假設波函數(shù)已歸一化 其物理意義和我們對 所做的解釋一樣：它是對 N個大量數(shù)目的、等價的，彼此獨立的且由同一波函數(shù) 表示的體系做 測量結(jié)果的平均值。顯然， 的平均值 不能簡單的寫成 pp??2( , )r t p d r??????(13) ? 因為 只表示粒子在 中的幾率，而不代表在 中找到粒子的幾率。而 由公式 p?? p p d p??2( , )p t d p? ( , )pt? 這里已經(jīng)用了若 歸一，則 也歸一的條件。因此，動量 的平均值可以表示為 (15) ()321( , ) ( , )( 2 )i E t p rp t r t e dr?????? ?(14) 下面我們從波函數(shù) 出發(fā)，給出計算動量平均值的方法。*3239。321[ ( , ) ]( 2 )1[ ( , ) ]( 2 )ipriprp d p e r t d rp e r t d r????????????()*31( , ) ( , ) [ ]( 2 )ip r rd r r t d r r t p e d p????????? ? ? ?( , )rt?()*3***1( , ) ( , ) [ ( ) ]( 2 )( , ) ( , ) ( ) ( )( , ) ( ) [ ( , ) ( ) ]( , ) ( ) ( , )ip r rdr r t dr r t i e dpdr d r r t r t i r rdr r t i dr r t r rdr r t i r t???? ? ?? ? ????????? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ????? (16) 利用了 ()31()( 2 )ip r rr r e d p???????? ? 這樣我們就找到了一個用波函數(shù) 直接計算動量平均值的公式 ，即只需以微分算符 作用在 之上，然后乘以 ，再對全空間積分就可以了。如果 是 的解析函數(shù)，且可展成 的冪級數(shù) * ?( , ) ( , )n nxxp r t p r t d r??? ?yp zp() nx n xnG p C p? ?(25) (24) ()xGp xpxp 則有 * ?( ) ( ) ( , ) ( , )nnx x n x n xnnG p G p C p C r t p r t d r??? ? ? ? ??? ?* ?( , ) ( , )nnxnr t C p r t d r??? ??* ?( , ) ( ) ( , )xr t G p r t d r??? ?* ( , ) ( ) ( , )r t G r t d rix??????(26) 上面的結(jié)果立即可以推廣到三維情形： *( ) ( , ) ( ) ( , )G p r t G p r t d r??? ?* ( , ) ( ) ( , )r t G r t d ri?????22*2()22pT T drmm ???? ??? ?? ? ??例如，動能的平均值是 (28) (27) （ 18）式表明：動量的平均值依賴于波函數(shù)的梯度 。顯然，若 越大，則 越短，因而動量平均值也越大。當我們用坐標表象中的波函數(shù)來計算動量平均值時，需要引進 動量算符 ，除此之外，能量算符和角動量算符也可依此引進： 22??()2?()?()?()?()x z yy x zz y xpiH V rmL r iL y p zp i y zzyL zp x p i z xxzL x p y p i x yyx? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ???(30) 一般地，微觀粒子的任何一個力學量 F的平均值總可以表示為 * ?o o d r??? ? ? ??? ? ?( , ) ( , )O O r p O r i? ? ? ?p 其中 是力學量 相應的算符。在動量表象中，坐標也必須用算符表示，容易證明，在動量表象中的坐標算符是 ( , )rt?( , )pt??? ,pxx i r ip?? ? ??(33) * ( , ) ( ) ( , )xx c p t i c p t d pp????* ( , )( ) ( , )pr c p t i c p t d p???平均值是 或者 (35) (34) 并且可推廣到的函數(shù) 情形 : ()Fr?( ) ( )pF r F i??* ?( ) ( , ) ( ) ( , )pF r c p t F i c p t???* ?( , ) ( , )A r t A r t d r??? ?一般來說，粒子的任何一個力學量 A的平均 值均可在坐標及動量表象中分別表示為 (37) (36) (38) 及 及 即為力學量 A在坐標和動量表 象中的算符。 薛定諤（ Schr246。dinger方程的引進 ? 在經(jīng)典力學中，體系運動狀態(tài)隨時間的變化遵循牛頓方程。方程的系數(shù)只含有粒子的質(zhì)量 m。 ? 在量子力學中，體系的運動狀態(tài)由波函數(shù) 描述。因此，和經(jīng)典力學類似，理論的核心問題 是：已知某一初始時刻 t0 的波函數(shù)，設法確定以后各時刻的波函數(shù)。 ( , )rt?( , )rt?? 自由粒子情形 對于自由粒子這一特殊情況，方程的解應是平 面波： ? ?( , ) e x p ir t A r t??? ? ? ? ? ?????它是所要建立的方程的解。 （ 1） （ 2） 再對 （ 1） 式求對坐標的二次微商，得 222222222222xyzxyz???? ? ?????? ? ?????? ? ??將以上三式相加，得到 2 2 2 222 2 2 2x y z? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?（ 3） 利用自由粒子的能量和動量關系式（非相對論情形） 22m???式中 m是粒子質(zhì)量，并比較 （ 2） 和 （ 3） 式，即可得到 222i tm?? ? ? ? ??上式表明，至少對自由粒子來說，平面波的解可由方程 （ 5） 的一個特解給出 。不難證明 3 / 21 ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )ii r t dt ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?2 2 23 / 21 ( ) e xp[ ( ) ]( 2 )i r t d??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??所以 2223 / 21[ ] ( ) ( ) e x p [ ( ) ] 02 ( 2 ) 2ii r t dt m m????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?回憶上述推導過程，可看出， 它也滿足對應原理的要求。 通常我們稱 i t??和 i?? 分別為 能量 和 動量 算符 。 ? 在勢場 V中的粒子情形 現(xiàn)利用算符對應關系 （ 6） 來建立在某一標勢場 ()Vr 中粒子波函數(shù)所滿足的方程。 式 （ 8） 就是勢場 ()Vr 作用下的 薛定諤 方程。 我們也可重復上面的討論，在 前一種 情形 ( , )V V r t?便是經(jīng)典的含時系統(tǒng)，對應成為量子含時系統(tǒng)時，由于 V中含有時間參數(shù)，量子系統(tǒng)的 Hamilton量 ? ? ()H H t?， 含時，成為含時量子