【正文】 F????kkUF????第十一章 能量法 卡氏第二定理 軸力桿系結(jié)構(gòu)的位移： 2k i 1 1( x ) ( ) ( )1 d2 iinnN N Nk llkk iF F x F xU x d xF F E A E A F???? ????? ??? ? ???????＝?有彎矩，扭矩的桿系結(jié)構(gòu)的位移： 2 2k i11( x ) ( x )11dd22( ) ( ) ( ) ( ) iiiinz xkllkpnzz xxllk p kiM MUxxF F E I GIM x M x M x M xdx dxE I F GI F???????? ???? ????? ?????????? ??? ??＝?第十一章 能量法 卡氏第二定理 C F A B l/2 l/2 試用卡氏第二定理求簡支梁中點撓度。 根據(jù)卡氏第二定理， / 2 / 2C 003/20d 2 d 2 d2 d2 2 4 8llLlU M M M M M Mv x x xF E I F E I F E I FF x x F lxE I E I? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??第十一章 能量法 卡氏第二定理 x y A L q 試用卡氏第二定理求圖示懸臂梁 端點 A的撓度和轉(zhuǎn)角。 最后令虛擬力為零。 第十一章 能量法 卡氏第二定理 x y MA FA FB A L q B 試用卡氏第二定理求解如圖 所示一次靜不定問題。 Principle of virtual work 理論力學(xué)中論述了質(zhì)點系的虛功原理：質(zhì)點系平衡的充要條件是 作用于質(zhì)點系的所有的力在任何虛位移上做功之和為零。 是在力系平衡位置上附加的位移。 對于變形體，虛位移是指滿足約束條件和變形連續(xù)條件的任何 可能位移。 第十一章 能量法 虛功原理 Mz FN+dFN FN Mx+dMx Mx Fs+dFs Fs Mz+dMz dx 偏離平衡狀 態(tài)的虛變形 平衡狀態(tài)下 的實際變形 作用于微單元上的所有力 ， 包 括外力和截面內(nèi)力 ， 將在虛位 移和虛變形上作虛功 dWe。 ddedWW??? 上式右邊積分時，僅有單元 的內(nèi)力在各自單元的虛變形上 做功。 所以 We＝ Wi 第十一章 能量法 虛功原理 We＝ Wi 上式稱為 變形體的虛功原理 。 第十一章 能量法 虛功原理 dx2 dx1 dx2 dx1 ?1 F ?2 F F1 F2 左圖為受軸向力 F 作用的桿，圖 中已處于平衡狀態(tài)（已包括桿的 實際伸長）。 1?12???將兩個微單元組合起來，截面上的內(nèi)力是一對軸力 F1和 F2， 大小相等，方向相反。 12()eWF ????內(nèi)力 F1在伸長虛變形上做功 F1δ1，內(nèi)力 F2在伸長虛變形上做功 F2δ2， 內(nèi)力在微段虛變形上做的功為 1 1 2 2 1 2()ieW F F F W? ? ? ?? ? ? ? ?從而驗證了虛功原理。 試用虛功原理求解節(jié) 點 A的位移和各桿內(nèi) 力。 3 c o sNEAFvl ?? 12 c o sNNEAF F vl ???在此基礎(chǔ)上假設(shè) A’經(jīng)歷虛位移 δv， 至 A’’。 虛擬的單位力 1，及由此 產(chǎn)生的內(nèi)力 FNo， MZo， Mxo， Fso。 n n ? 1 ? 1 =o o oN z xlo oozz xxNNzpl l lF d M d M dM M d x M M d xF F d xE A E I G I? ? ???? ? ? ? ?????????? ?? ? ? ?第十一章 能量法 莫爾積分－ 單位載荷法 試用單位載荷法 求解 C點撓度 x2 x1 C A B y, v l b a F M1 M2 x2 x1 C y, v 1 A B 1oM 2oM解： 11bFMxl?22aFMxl?11obMxl?22oaMxl?1 1 2 212002 3 2 3 2 21 1 2 212 2200( ) ( ) ( ) ( )dd d d3 3 3ooabCabM x M x M x M xv x xEI EIbFx bx aFx ax b F a a F b Fa bxxEIl l EIl l EIlEIl EIl??? ? ? ? ?????第十一章 能量法 單位載荷法 如圖所示懸臂梁， EI為常數(shù)，試確定 B點的撓度和轉(zhuǎn)角。 在 B點受向下的力 F 作用。 511 2 ( 1 2 )oB N i N u i iiFau F F lEA EA?????511 ( 3 4 2 )oB N i N v i iiFav F F lE A E A?????第十一章 能量法 單位載荷法 2F?2aoNi Nui iF F l2oNi Nvi iF F l2?2F2aoNuiF22FaoNviF22Fa桿號 1 2 3 4 5 FNi － F － F F 0 － 1 1 0 － 1 － 1 1 a a a 0 Fa Fa 0 Fa Fa Fa il222Fa第十一章 能量法 單位載荷法 x MB a A B q 1 C a 1 FB x y y ?B MB FB 圖示 ?形剛架，在 C端固支。已知剛架的抗彎剛度為 EI， 試用單位載荷法求 A點 水平位移和垂直位移。 AB桿： 21 12M qx?? 1ouMx?? 1 0ovM ?BC桿： 2212M qa?? 2ouMa??1ovMx??第十一章 能量法 單位載荷法 A點的水平位移 001 1 2 2002 2 4001( d d )1 1 1 5 ( d d )2 2 8aaA u uaau M M x M M xEIq x x x q a a x q aE I E I? ? ? ?? ? ? ? ?????A點的垂直位移 001 1 2 2002 2 4001( d d )1 1 1 1 ( 0 d d )2 2 4aaA v vaav M M x M M xEIq x x q a x x q aE I E I? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????第十一章 能量法 單位載荷法 FAx x2 x1 FBD FBD FAy D C B A 30? q a 1 1 D C B A 30? 3a 3a圖示托架的 AC梁受均布載荷 q的作用。 支撐桿 BD的抗拉壓剛度為 EA。 解： 0Am ?? sin 3 0 3 2 3 3oBDF a q a a? ? ?43BDF qa? 0AyF ?第十一章 能量法 單位載荷法 FAx x2 x1 FBD FBD FAy D C B A 30? q a 1 1 D C B A 30? 3a 3a21 1 11() 2M x q x?? 22 2 21()2M x q x??C點垂直單位力作用下 4oBDF ? 1 1 1()oM x x?? 2 2 2()oM x x??32 4 201 1 1 9 3 2 32 d 4 3 4 224acv q x x x q a a q a q aE I E A E I E A? ? ? ? ? ? ? ? ??43BDF qa?? ? ?si n 30 3 1 2 3o BDF a a第十一章 能量法 單位載荷法 求 C點的轉(zhuǎn)角：假定在 C點有單位 力偶矩作用 1 D C B A 30? 23o BDFa? 13o AyF a??1 1 11()3oM x xa?? 22( ) 1oMx ??3322001 1 1 1 1 1 2d 1 d 4 3 222 33aac q x x x q x x q a aE I E I E Aaa? ? ? ? ? ? ? ? ???37 3 1 68 q a q aE I E A??第十一章 能量法 靜不定結(jié)構(gòu) FAy FAx B C A (a) D B C A (b) D B C A ( c) D C B A (d) M M FS FS FN FN D C B A ( e) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ? A D C B A MD MD F/2 F/2 F F F MD F/2 圖示的細(xì)園環(huán) 半徑為 R， 抗彎剛度為 EI， 受一對拉力 F作用 。 ( ) ( 1 c o s )2D FM M R??? ? ?解： 1，求圓環(huán)的彎矩 為了計算 D截面的轉(zhuǎn)角，在 D截面上施加逆時針的單位力矩， ( ) 1oM ? ?201 [ ( 1 c o s ) ] 1 d [ ] 02 2 2 2 2D D DF R F R F RM R R ME I E I? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 2( 1 ) 0 . 1 8 22DFRM F R?? ? ?2( ) ( 1 c o s ) ( c o s )22DF F RM M R? ? ??? ? ? ? ?2，求 A、 B兩點的相對位移 上式令 F＝ 1 o 2( ) ( c o s )2RM ?? ???22 33 200224 d ( c o s ) d ( )4oABM M F R F RRE I E I E I?? ?? ? ???? ? ? ? ? ???第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 圖示剛架，在 AB段中點受水平力 F作用。 試求 支座 C的約束反力，并求 B點的水平位移，垂直位移和轉(zhuǎn)角。 F l B C A (a) F l FCy B C A (a) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) x3 x2 x1 F B C A M ( b) l l 1 B C A Mo ( d) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 22 2 3 31 1 2 3 30 0 0dd41 ( d 1 d ) d 038lo o oC C y FllC y C yv F M M x M M xF x x x F x l x F l F l? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?332CyFF?第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 1 B C A Mo (f) 1 B C A Mo (e) 1 B C A Mo ( d) 1 l F l FCy B C A (a) x3 x2 x1 F B C A M ( b) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 2 32 2 3 3 3001 1 1[ ( ) ]2 1 9 2llB C ylu F l x d x F x x d