【正文】 ? ? ? ?2012l zzMU dxEI? ?如果 Mz和 Iz為常數(shù)，那么 2201122lzzM M lU d xE I E I???dx d? Mz Mz 第十一章 能量法 彈性 應變能 梁的彎曲剪切應變能（剪切變形不存在平面截面關(guān)系） dx FS FS ()() SzF S yybI? ?()() yyG?? ?2 222222 222()11d d d d d d221 ( ) 1 d d d d22xy SVVzS S SAlzLF S yU x y z x y zG G b IF k FA S yy z x xG A G AIb??????? ??????? ???? ?? ?222 ddS AzASk y zIb? ??其中 稱為 剪切形狀系數(shù) ，對于矩形截面梁， kS=6/5； 圓截面梁的 kS=10/9； 圓形薄 壁截面梁的 kS=2； 工字形梁的 kS?2－ 5。用能量 原理計算集中力作用點 C的垂直位移。（ reciprocal theorem of work） F1δ12＝ F2δ21 如果進一步假設 F1＝ F2， 那么得到 12 21???上式可以敘述為，一個力作用于點（ 2）時在點（ 1）引起的位移， 等于同一個力作用于點（ 1）時在點（ 2）引起的位移。 現(xiàn)在假設第 k個載荷相 應的位移有一微小增量 d?k， 其他位移不變 。 用 Δl1和 Δl2表示桿 1的伸長和桿 2的縮短。對于線彈性體，其應變能在數(shù)值 上等于余能，所以有 此式可以敘述為，線彈性體沿某外力方向的廣義位移等于應變能 對該力的變化率。 根據(jù)卡氏第二定理， / 2 / 2C 003/20d 2 d 2 d2 d2 2 4 8llLlU M M M M M Mv x x xF E I F E I F E I FF x x F lxE I E I? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ??第十一章 能量法 卡氏第二定理 x y A L q 試用卡氏第二定理求圖示懸臂梁 端點 A的撓度和轉(zhuǎn)角。 第十一章 能量法 卡氏第二定理 x y MA FA FB A L q B 試用卡氏第二定理求解如圖 所示一次靜不定問題。 是在力系平衡位置上附加的位移。 第十一章 能量法 虛功原理 Mz FN+dFN FN Mx+dMx Mx Fs+dFs Fs Mz+dMz dx 偏離平衡狀 態(tài)的虛變形 平衡狀態(tài)下 的實際變形 作用于微單元上的所有力 ， 包 括外力和截面內(nèi)力 ， 將在虛位 移和虛變形上作虛功 dWe。 所以 We＝ Wi 第十一章 能量法 虛功原理 We＝ Wi 上式稱為 變形體的虛功原理 。 1?12???將兩個微單元組合起來，截面上的內(nèi)力是一對軸力 F1和 F2， 大小相等，方向相反。 試用虛功原理求解節(jié) 點 A的位移和各桿內(nèi) 力。 虛擬的單位力 1，及由此 產(chǎn)生的內(nèi)力 FNo， MZo， Mxo， Fso。 在 B點受向下的力 F 作用。已知剛架的抗彎剛度為 EI， 試用單位載荷法求 A點 水平位移和垂直位移。 支撐桿 BD的抗拉壓剛度為 EA。 ( ) ( 1 c o s )2D FM M R??? ? ?解： 1，求圓環(huán)的彎矩 為了計算 D截面的轉(zhuǎn)角，在 D截面上施加逆時針的單位力矩， ( ) 1oM ? ?201 [ ( 1 c o s ) ] 1 d [ ] 02 2 2 2 2D D DF R F R F RM R R ME I E I? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ??第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 2( 1 ) 0 . 1 8 22DFRM F R?? ? ?2( ) ( 1 c o s ) ( c o s )22DF F RM M R? ? ??? ? ? ? ?2，求 A、 B兩點的相對位移 上式令 F＝ 1 o 2( ) ( c o s )2RM ?? ???22 33 200224 d ( c o s ) d ( )4oABM M F R F RRE I E I E I?? ?? ? ???? ? ? ? ? ???第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 圖示剛架，在 AB段中點受水平力 F作用。 F l B C A (a) F l FCy B C A (a) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) x3 x2 x1 F B C A M ( b) l l 1 B C A Mo ( d) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 22 2 3 31 1 2 3 30 0 0dd41 ( d 1 d ) d 038lo o oC C y FllC y C yv F M M x M M xF x x x F x l x F l F l? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?332CyFF?第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) 1 B C A Mo (f) 1 B C A Mo (e) 1 B C A Mo ( d) 1 l F l FCy B C A (a) x3 x2 x1 F B C A M ( b) FCy l FCy l B C A M (c) FCy 2 32 2 3 3 3001 1 1[ ( ) ]2 1 9 2llB C ylu F l x d x F x x d x F lE I E I? ? ? ? ? ???2 22 3 30011( 1 d 1 d )32llB C yF l x F x x F lE I E I? ? ? ? ? ? ? ? ???0Bv ?第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) FS FS FN FN m (a) m (c) (b) (d) m m 反對稱載荷 M M 對稱載荷 n n 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ???? ? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ??? ? ? ?????? ? ?/22 2 3 20 0 01dd1 1 7d ( ) d d 02 2 2 4 2o o oC C Sa a aSSv F M M x M M xEIa a mF x x x m x F a aE I E I?形剛架在兩個角點受反對稱載荷 m作用。 122 沖擊應力分析 2022/3/13 材料力學 69 動載荷 /構(gòu)件受沖擊時的應力和變形計算 根據(jù)能量守恒定律，即 UVT ?? :沖擊物接觸被沖擊物后，速度 ?0，釋放出的動能 ； T :沖擊物接觸被沖擊物后，所減少 的勢能； V :被沖擊構(gòu)件在沖擊物的速度 ?0時所增加的變形能 。只考慮其機械能，不計變形能?，F(xiàn)以一彈簧代表受沖構(gòu)件，受重物 Q,在高度 H處 落下的作用，計算沖擊應力。 dPdP ：沖擊物速度為 0時，作用于桿之力。 st?2022/3/13 材料力學 77 動載荷 /構(gòu)件受沖擊時的應力和變形計算 dstdstdd kQP ???????因為 所以沖擊應力為 stdd k ?? ?強度條件為 ][)( m a xm a x ??? ?? stdd k2022/3/13 材料力學 78 動載荷 /等加速運動構(gòu)件的應力計算 因此在解決動載荷作用下的內(nèi)力、應力和位移計算的問題時，均可 在動載荷作為靜荷作用在物體上所產(chǎn)生的靜載荷，靜應力，靜應變和靜位移計算的基礎上乘以動荷系數(shù) ，即 stddstddstddstddKKPKPK??????????????通常情況下， 。 stdHk?? 21102 ??stHdk 不僅與沖擊物的動能有關(guān)，與載荷、構(gòu)件截面尺寸有關(guān)， 更與 有關(guān)。 解： 靜應力和靜伸長分別為 AQst ?? EAQLst ??， 動荷系數(shù)為 ALEAHHkstd????????211211沖擊應力為 ALH Q EAQAQkstdd2)( 2 ???? ??2022/3/13 材料力學 83 動載荷 /幾個沖擊實例的計算 實例 2 等截面簡支梁的沖擊彎曲應力 已知：梁的抗彎剛度為 EI，抗彎截面模量為 W。 由于某種原因在 B端突然剎車。 Q v L 解： 根據(jù)能量守恒：沖擊過程中釋放的 動能等于桿件增加的變形能。 2022/3/13 材料力學 90 動載荷 /構(gòu)件受沖擊時的應力和變形計算 所以 QkgvQP dstd ???2即水平?jīng)_擊時的動荷系數(shù)為 std gvk??2桿內(nèi)最大動應力為 zdstdd WQLkk ??m a xm a x )()( ??(表示水平?jīng)_擊時假設以沖擊物重量大小 的力沿水平方向以靜載荷作用于沖擊點 時，該點沿水平方向的位移。 吊索和彈簧的靜變形： ????? QEAQLst 在重物的速度 v?0的同時， 吊索和彈簧的 變形增加 ?,即動變形為 。 d?計算動應力 、動位移 。 疲勞破壞的斷口，可分為光滑區(qū)及晶粒粗糙區(qū)。當表面被削 弱至不能承受所加載荷而斷裂，即為脆斷粗糙區(qū)。 max?m? a?幾種典型的交變應力情況 max? min? a??不穩(wěn)定的交變應力： 、 不是常量， 為變化的 （不等幅情況）。 max?r?2022/3/13 材料力學 106 1??? 值是工程材料最常見、最基本的材料性能指標之一。 2? 2N1?3?7N…… …… …… 7?3N 如果第七根試件在 下經(jīng)歷了 次循環(huán)次數(shù)而不 斷裂，并且 或 ，則 即為該材料的疲勞極限 。 710?N710)105( ???N2022/3/13 材料力學 110 從圖中可以看出：對于鋼材， 時， ?N曲線會出現(xiàn)一 條水平漸近線， 。與 材料的持久極限 相比必須考慮一下因 素： 構(gòu)件外形引起的影響 —— 應力集中 Kσ稱為彎曲（或拉壓）時的有效應力集中系數(shù) (Kσ1) kk11??????2022/3/13 材料力學 112 構(gòu)件尺寸的影響 )1(11 ??????? ????構(gòu)件表面狀態(tài)的影響 （ 1）表面加工影響： 表面加工系數(shù) )1( 1111 ???? ???? ? 為不同表面加工的構(gòu)件的持久極限， 為表面磨光構(gòu)件的 持久極限。在計算 中，根據(jù)具體情況取其中主要因素，一般不將各 ?值相乘。 F力作用線離 柱的軸線距離 e＝ ，柱子底部截面為矩形， 尺寸為 lm?，試計算柱子底部危險點的應力。圖中 y、 z兩軸為截面 形心主慣軸。 122 沖擊應力分析