【正文】 FAy D C B A 30? q a 1 1 D C B A 30? 3a 3a21 1 11() 2M x q x?? 22 2 21()2M x q x??C點(diǎn)垂直單位力作用下 4oBDF ? 1 1 1()oM x x?? 2 2 2()oM x x??32 4 201 1 1 9 3 2 32 d 4 3 4 224acv q x x x q a a q a q aE I E A E I E A? ? ? ? ? ? ? ? ??43BDF qa?? ? ?si n 30 3 1 2 3o BDF a a第十一章 能量法 單位載荷法 求 C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角：假定在 C點(diǎn)有單位 力偶矩作用 1 D C B A 30? 23o BDFa? 13o AyF a??1 1 11()3oM x xa?? 22( ) 1oMx ??3322001 1 1 1 1 1 2d 1 d 4 3 222 33aac q x x x q x x q a aE I E I E Aaa? ? ? ? ? ? ? ? ???37 3 1 68 q a q aE I E A??第十一章 能量法 靜不定結(jié)構(gòu) FAy FAx B C A (a) D B C A (b) D B C A ( c) D C B A (d) M M FS FS FN FN D C B A ( e) 第十一章 能量法 單位載荷法 (靜不定 ) ? A D C B A MD MD F/2 F/2 F F F MD F/2 圖示的細(xì)園環(huán) 半徑為 R， 抗彎剛度為 EI， 受一對拉力 F作用 。只考慮其變形能，不計(jì)機(jī) 械能（被沖擊物質(zhì)量不計(jì)）。構(gòu)件越易變 形，剛度越小，即“柔能克剛”。以等速 v=1m/s下降，在 L=20m時(shí)突然剎車，求吊索內(nèi)的應(yīng)力 (吊索和彈 簧的質(zhì)量不計(jì) )。 t ? T min?max?m?a?最大應(yīng)力 ： max? ； 最小應(yīng)力 ： min? ； 平均應(yīng)力： 2m i nm a x ??? ??m應(yīng)力幅： 2m i nm a x ??? ??a循環(huán)特征： ,m a xm in????r 且 11 ??? r2022/3/13 材料力學(xué) 102 動(dòng)載荷 /交變應(yīng)力 以上五個(gè)特征值中，只有二個(gè)是獨(dú)立的。此 值稱為疲勞極限或持久極限。 100KN 20KN D 2022/3/13 材料力學(xué) 120 108 鑄鐵圓柱形容器外直徑 D = 20 cm，壁厚 t＝ 2cm，受內(nèi)壓強(qiáng) p＝ 4MPa，并在容器兩端受軸向壓力 F＝ 200 kN作用，設(shè) ?=，許用拉應(yīng)力 [? +]＝ 25 MPa，（ 1）用第二強(qiáng)度理論講行校核；（ 2）若在兩端加外扭矩 Mn＝ 1000 作用，用第二強(qiáng)度理論校核強(qiáng)度。試求桿內(nèi)最大拉應(yīng)力之值。 7? 77 10?NM P a10)( 76 ?? ?? 776 %5)( ??? ??7? 1??2022/3/13 材料力學(xué) 109 ?根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果作疲勞強(qiáng)度 壽命曲線 ?N圖或 ?lgN圖。 2022/3/13 材料力學(xué) 100 動(dòng)載荷 /交變應(yīng)力 ?疲勞破壞產(chǎn)生的機(jī)理： 交變應(yīng)力超過一定的限度，在構(gòu)件上應(yīng)力集中處，產(chǎn)生微裂 紋，再向四周擴(kuò)展，形成宏觀裂紋，而不斷擴(kuò)展。 試求桿內(nèi)最大正應(yīng)力。 2?dk2022/3/13 材料力學(xué) 80 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 當(dāng) 時(shí)，可近似取 ，誤差 5%。 在整個(gè)沖擊過程中，結(jié)構(gòu)保持線彈性，即力和變 形成正比。 AB桿： 21 12M qx?? 1ouMx?? 1 0ovM ?BC桿： 2212M qa?? 2ouMa??1ovMx??第十一章 能量法 單位載荷法 A點(diǎn)的水平位移 001 1 2 2002 2 4001( d d )1 1 1 5 ( d d )2 2 8aaA u uaau M M x M M xEIq x x x q a a x q aE I E I? ? ? ?? ? ? ? ?????A點(diǎn)的垂直位移 001 1 2 2002 2 4001( d d )1 1 1 1 ( 0 d d )2 2 4aaA v vaav M M x M M xEIq x x q a x x q aE I E I? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?????第十一章 能量法 單位載荷法 FAx x2 x1 FBD FBD FAy D C B A 30? q a 1 1 D C B A 30? 3a 3a圖示托架的 AC梁受均布載荷 q的作用。 12()eWF ????內(nèi)力 F1在伸長虛變形上做功 F1δ1，內(nèi)力 F2在伸長虛變形上做功 F2δ2， 內(nèi)力在微段虛變形上做的功為 1 1 2 2 1 2()ieW F F F W? ? ? ?? ? ? ? ?從而驗(yàn)證了虛功原理。 Principle of virtual work 理論力學(xué)中論述了質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理：質(zhì)點(diǎn)系平衡的充要條件是 作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有的力在任何虛位移上做功之和為零。已知作用在節(jié)點(diǎn) C的力 F＝ 30kN， 鋼的彈性模量 E1＝ 200GPa， 木材的彈性模量 E2=10GPa， 試用位移法求節(jié)點(diǎn) C的水平位移和垂直 位移。例如 231,126BFFlW F vEI? ? ?1， 先單獨(dú)作用力 F， 作功為 222 , ,12 2 2B M B MF M l M lW F v ME I E I?? ? ? ? ? ?2，然后保持力 F不變，加載力偶矩 M。且彈性體在變形過程中貯存的應(yīng)變能只 取決于外力和位移的終值與加力順序無關(guān)。 本章目的 基本要求 理解廣義力、廣義位移、虛位移、虛功概念 。 iP能量法與超靜定系統(tǒng) /變形能的普遍表達(dá)式 ?關(guān)于變形能計(jì)算的討論： 1 以上計(jì)算公式僅適用于線彈性材料在小變形下的變形 能的計(jì)算。 121 外力功與應(yīng)變能的一般表達(dá)式 第十一章 能量法 例題 x2 x1 C A B y, v l b a F M1 M2 簡支梁 AB受集中力 F 作用。 那么彈性體 的應(yīng)變余能的增量為 1n ccc i ki ikUUdU dF dFFF??????因?yàn)橹挥械?k個(gè)外力有變化，其他外力沒有變化，所以余功的增量 ddc k kWF? ?由于余功在數(shù)值上等于應(yīng)變余能，那么兩者的變化量也應(yīng)相等， 所以 ckkUF????第十一章 能量法 卡氏第二定理 上式表明，應(yīng)變余能對于某一外力變化率等于該外力所對應(yīng)的位移 的數(shù)值，這一結(jié)果稱為余能定理。虛位移會(huì)產(chǎn)生虛變形，這樣，外力的虛功不為零。 內(nèi)力虛功為 FN2 ?l1 ? l3=v ?l2 A’ ? ? A A’’ 1l?3lv???21 1 3 3 12 2 c o s c o s ( 2 c o s )c o s c o sNN E A E A E AF l F l v v v v v vl l l? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?第十一章 能量法 虛功原理 2 1( 2 c o s )c o s EAF v v vl? ? ??? ? ?外力虛功等于內(nèi)力虛功： 所以 3c o s()1 2 c o sFlvEA??? ?212 3c o s()1 2 c o sNNF F F???? ?3 31()1 2 c o sNFF?? ?第十一章 能量法 莫爾積分－ 單位載荷法 兩組力： 外力及由載荷產(chǎn)生的實(shí)際 內(nèi)力 FN， MZ， Mx， Fs。求 （ 1） 圓環(huán)的彎矩 （ 2） 力的作用點(diǎn)的相對位移 。 2022/3/13 材料力學(xué) 71 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 ? 根據(jù)假設(shè)，工程實(shí)際上的梁、桿均可簡化為彈簧來 分析。 st?2022/3/13 材料力學(xué) 81 幾個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算 動(dòng)載荷 / 幾個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算 2022/3/13 材料力學(xué) 82 動(dòng)載荷 /幾 個(gè)沖擊實(shí)例的計(jì)算 實(shí)例 1 等截面直桿的沖擊拉伸應(yīng)力 L H Q 已知：等截面直桿長度為 L，截面積為 A， 桿件材料的楊氏模量為 E，重物 Q從高 H處 自由落下。 Nm / 6???? 26cmA ?211 / mNE ??v L 解： 根據(jù)重物沖擊過程中釋放的能量 (包括動(dòng)能和勢能 )轉(zhuǎn)化為吊索增加的變形能計(jì)算。滿足 am ??? ??m a xam ??? ??m i n?具體描述一種交變應(yīng)力，可用 最大應(yīng)力 和循環(huán)應(yīng)力 r， 或用平均應(yīng)力 和應(yīng)力幅值 。 710?Nr?? ?m a x r?? ?m a xr?? ?m a xr?2022/3/13 材料力學(xué) 111 四、影響疲勞極限的因素 構(gòu)件的持久極限 是指構(gòu)件可以經(jīng)受“無數(shù)次”應(yīng)力循環(huán)而不發(fā)生 破壞的最大交變應(yīng)力值。 F F 2022/3/13 材料力學(xué) 121 167。 Fx=8KN F=220KN 2022/3/13 材料力學(xué) 117 1114 正方形截面拉桿受拉力 F＝ 90kN作用， a＝ 5cm，如在桿的 根部挖去 1／ 4如圖示。否則，進(jìn)行下一根試件的試 驗(yàn)。在光滑區(qū)可 見到微裂紋的起始點(diǎn)（疲勞源），周圍為中心逐漸向四周擴(kuò) 展的弧形線。 而 ddPUvgQT ????2121 2 (a) EILPdd 33??(b) 設(shè)：一重量為 Q的重物以水平速度 v 撞在 直桿上，若直桿的 E、 I、 均為已知。 1?dK2022/3/13 材料力學(xué) 79 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 若沖擊物是以一垂直速度 v作用于構(gòu)件上，則由 可得： gHv 22 ?std gvk????211?關(guān)于動(dòng)荷系數(shù) 的討論 : dk當(dāng) h=0或 v=0時(shí)，重物突然放在構(gòu)件上，此時(shí) 。 U2022/3/13 材料力學(xué) 70 動(dòng)載荷 /構(gòu)件受沖擊時(shí)的應(yīng)力和變形計(jì)算 ?計(jì)算沖擊問題時(shí)所作的假設(shè)： 略去沖擊過程中的其它能量損失，如塑性變形 能、熱能等。 解：在 AB段和 BC段 建立局部坐標(biāo)。外力 F和截面內(nèi)力在軸向位移上做的總功事實(shí)上就是外力 F作的功。 解： 21() 2BM x F x q x??2 3142B11d d ( ) 038B BBLLF x q x FlMMv x x x q lE I F E I E I??? ? ? ? ????B38F ql?所以 第十一章 能量法 虛功原理 John Bernoulli， 1717 提出了虛功原理。 那么彈性體的應(yīng)變 能的增量為 1niki ikUUd U d d???? ? ? ?? ? ? ??因?yàn)橹挥械?k個(gè)位移有變化，其他位移沒有變化，所以外力功的 增量 kkdW F d??由于外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能，那么兩者的變化量也應(yīng)相等， 所以 kkUF ????第十一章 能量法 卡氏第一定理 C2 C1 ?l1 ?l2 C2 C C’ 30? C’ C1 1 2 FN2 FN1 F B C A 2m F 30? C 圖示桁架， 1桿為直徑 d＝ ， 2桿是邊長 20cm的方截面木 桿。 事實(shí)上，外力作功與加載次序無關(guān)。 則物體的變形能為： ????niiiPWU1 2